Kisi di atas modul

Question

Konstruksi standar kisi dalam $\mathbb{R}^n$ dapat digeneralisasikan dengan mengambil ruang vektor berdimensi hingga $V$ di atas lapangan $F$ dan subring $R$ dari $F$, sesuai Wikipedia (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group).

Adakah alasan mengapa hanya ruang vektor berdimensi-hingga yang dipertimbangkan di sini, dan bukan modul bebas dengan peringkat hingga? Kisi harus tetap membentuk subgrup aditif, dan menurut saya properti untuk basa yang akan memberikan kisi isomorfik juga harus tetap sama. Apakah ada properti penting yang hilang dengan generalisasi lebih lanjut yang saya lewatkan?

Answer 1

Properti penting dari teori kisi adalah produk dalam yang Anda peroleh $\mathbb{R}^n$, serta objek terkait seperti volume.

Banyak dari teorema yang menarik dan berguna berasal dari interaksi antara struktur aljabar dan geometri, misalnya teorema Minkowski dan aplikasinya pada geometri bilangan. Geometri juga penting untuk aplikasinya dalam kriptografi , karena seseorang memerlukan norma untuk membicarakan hal-hal seperti masalah vektor terpendek.

Definisi yang setara untuk kisi adalah mendefinisikannya sebagai gratis $\mathbb{Z}$modul dilengkapi dengan bentuk kuadrat. Generalisasi berikut muncul di halaman 3 dari "Lattices and Codes" Ebeling.

Definisi: Let$R$menjadi cincin komutatif dengan persatuan. Modul bentuk bilinear simetris$(S,b)$ lebih $R$ adalah sepasang yang terdiri dari gratis $R$-modul $S$ peringkat $n$, dan bentuk bilinear simetris $b : S \times S \to R$.

Proposisi 1.1 (Ebeling) The terpisahkan kisi di$\mathbb{R}^n$ (kisi di mana setiap perkalian titik adalah bilangan bulat) adalah modul bentuk bilinear simetris di atas bilangan bulat di mana $b$ adalah bentuk bilinear simetris pasti positif.

Teks tersebut menyebutkan bahwa modul bentuk bilinear simetris selesai $\mathbb{Z}$ tanpa sifat pasti-positif dipelajari di bab 4, dan contoh-contoh cincin bilangan bulat dipelajari di bab 5. Anda mungkin tertarik untuk membaca dengan teliti.