Koefisien DFT artinya?
Apakah mereka? Apa cara yang masuk akal untuk menafsirkan koefisien (dan apa yang tidak)? Untuk berpose spesifik:
- Koefisien DFT menggambarkan frekuensi yang ada dalam sinyal
- Mereka menggambarkan frekuensi sinusoidal dari sumbernya
Apakah salah satu dari yang di atas benar?
Jawaban
Yang paling mendasar, DFT adalah tentang menyesuaikan satu set fungsi basis ke sekumpulan data sampel tertentu. Fungsi basis adalah semua fungsi sinusoidal, yang dinyatakan sebagai eksponensial kompleks dengan eksponen imajiner murni. Menggunakan konvensi penskalaan paling umum setiap fungsi basis, tanpa koefisien penskalaannya, adalah:
$$ g_k[n] \triangleq \tfrac1N e^{j \omega_k n} $$
Untuk DFT:
$$ \omega_k = \frac{2 \pi k}{N} $$
dan fungsi basis dijumlahkan sebagai
$$\begin{align} x[n] &= \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] \ g_k[n]\\ \\ &= \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] \ \tfrac1N e^{j \omega_k n} \\ \\ &= \tfrac1N \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{N} n} \\ \end{align}$$
Sangat mudah untuk memecahkan koefisien:
$$\begin{align} X[k] &= \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] \ e^{ -j \frac{2 \pi k}{N} n} \\ \end{align}$$
Pembaruan: Dalam versi saya sebelumnya dari jawaban ini, saya terjebak pada ekspresi $e^{j\omega t}$tidak dapat disebut "sinusoidal", (dan sekarang secara menarik dapat mulai melihat dua sisi bagaimana itu bisa terjadi atau tidak bisa berkat komentar RBJ; tergantung pada definisi, yang saya tidak dapat menemukan sumber yang konsisten untuk). Saya mempertimbangkan kemudian menanyakan sebagai pertanyaan terpisah tentang topik itu secara khusus, tetapi sekarang merasa itu mungkin tidak dapat dijawab - jika ada yang berpikir sebaliknya, silakan berkomentar dan saya akan membuat pertanyaan untuk jawaban yang jelas. Kalau tidak, saya telah memindahkan pikiran saya ke dasar untuk tidak mengurangi jawaban ini. Dan terlepas dari hal di atas, saya menghargai kejelasan mengacu pada$e^{j\omega t}$ sebagai "sinusoid kompleks" dan tidak mempermasalahkan hal itu.
Untuk lebih jelasnya, koefisien DFT TIDAK memberikan amplitudo dan fase komponen sinusoidal nyata dari sinyal asli kecuali sinyal itu sendiri nyata, melainkan memberikan amplitudo dan fase komponen frekuensi eksponensial yang diskalakan oleh $N$, yang diberikan dalam bentuk $c_ke^{j\omega_k n}$ dan disebut sebagai "sinusoid kompleks".
Jumlah eksponensial terbobot kompleks langsung dari rumus DFT terbalik seperti yang diberikan di bawah ini:
$$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j \omega_k n}$$
Dimana masing-masing $X[k]$ diberikan sebagai:
$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j \omega_k n}$$
Menunjukkan bagaimana setiap sampel dipulihkan sebagai jumlah dari semua komponen frekuensi berbobot dan bertahap yang masing-masing dalam bentuk $e^{j \omega_k n}$.
Ekspresi umum $Ae^{j\phi}$ adalah fasor dengan magnitudo $A$ dan sudut $\phi$. Jadi, setiap koefisien dalam DFT adalah bilangan kompleks yang mewakili besaran dan fase awal fasor kompleks dalam waktu yang berputar pada kelipatan bilangan bulat dari frekuensi dasar, yang diberikan oleh kebalikan dari total durasi waktu domain waktu. bentuk gelombang (mirip dengan ekspansi Seri Fourier waktu kontinu).
Dinyatakan dengan cara lain, DFT terbalik merekonstruksi setiap urutan domain waktu sewenang-wenang dari sampel baik nyata maupun kompleks dari satu set fungsi basis dalam bentuk $e^{j\omega_k n}$, dan DFT memetakan setiap urutan domain waktu sewenang-wenang dari sampel baik nyata maupun kompleks ke dalam komponen fungsi basis tersebut (menunjukkan berapa banyak dari setiap fungsi basis yang terkandung dalam sinyal domain waktu dan hubungan fase ke semua komponen lainnya).
Untuk memberikan makna visual ini, dengan OP yang lebih lanjut diklarifikasi dalam komentar yang diinginkan, pertimbangkan ini: Kita dapat memilih sembarang $N$sampel di seluruh bidang kompleks yang mewakili bentuk gelombang domain-waktu kompleks yang berlainan, sehingga kami mengurutkan melalui masing-masing sampel tersebut secara bergantian. DFT secara menakjubkan akan mengembalikan kepada kita besaran dan fase awal untuk$N$ vektor, dengan setiap vektor memutar bilangan bulat siklus yang dimulai dengan 0 (tanpa rotasi) hingga $N-1$ siklus di sekitar lingkaran unit, sehingga jika kita menambahkan semua fasor berputar ini (dan bagi dengan $N$), titik akhir alat geometris yang berputar ini akan melewati setiap sampel domain waktu tepat pada saat yang tepat.
Untuk segera memvisualisasikan ini, pertimbangkan kasus paling sederhana dari 2 poin IDFT yang akan menghasilkan
$$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j \omega_k n} = \frac{X_0}{2}e^{j0}+\frac{X_1}{2}e^{j\omega_1 n}$$
dimana $\omega_1$ adalah 1 putaran dan digambarkan oleh grafik berikut.
Pertimbangkan jika kami memilih sebagai sampel domain waktu $[1,0]$: Hasil DFT adalah $[1,1]$ mewakili fasor besarnya $1$ dan sudut $0$ yang tidak berputar, ditambahkan ke fasor besarnya $1$ yang berputar satu siklus (seperti yang digambarkan pada grafik di atas), jadi pada kedua sampel pada waktunya grafik di atas akan berada di $[2,0]$, dan setelah membaginya dengan $N$ adalah urutan asli kami.
Pertimbangkan jika kami memilih sebagai sampel domain waktu $[1,1]$: Hasil DFT adalah $[2,0]$ mewakili fasor besarnya $2$ dan sudut $0$ yang tidak berputar, ditambahkan ke fasor besarnya $0$, jadi pada kedua sampel pada waktunya hasilnya akan sama $[2,2]$, dan setelah membaginya dengan $N$ adalah urutan asli kami.
Akhirnya pertimbangkan jika kami memilih sebagai sampel domain waktu $[1+j1,-1+j1]$: Hasil DFT adalah $[2j, 2]$ mewakili fasor besarnya $2$ dan sudut $\pi/2$ yang tidak berputar, ditambahkan ke fasor besarnya $2$ dan sudut $0$ yang berputar satu silinder (seperti yang digambarkan dalam grafik di bawah), jadi pada kedua sampel pada waktunya hasilnya akan menjadi $[2+j2, -2+j2]$, dan setelah membaginya dengan $N$ adalah urutan asli kami.
Sidetrack (dan mungkin akan diposting sebagai pertanyaan lain jika ada jawaban yang jelas dan tidak sepele):
Adalah $e^{j\omega t}$ sinusoidal?
Saya selalu menganggapnya BUKAN sinusoidal, membatasi pandangan saya tentang sinusoidal sebagai mewakili gelombang sinus, dan mencatat besarnya $e^{j\omega t}$konstan terhadap waktu, dan terdiri dari dua sinusoid dalam hubungan kuadrat. RBJ memprotes di komentar, dan memberikan beberapa matematika kepada saya yang membuat saya mempertimbangkan sebaliknya- tapi masih penasaran apakah ini umumnya diselesaikan atau item perdebatan belum menemukan definisi yang jelas dan diterima secara umum dari "sinusoidal" - apakah itu ada ?
Misalnya Wolfram mendefinisikan sinusoid sebagai kurva yang mengambil bentuk gelombang sinus, khususnya dalam bentuk:
$$f(x) = a\sin(\omega x + c) \label{1} \tag{1}$$
https://mathworld.wolfram.com/Sinusoid.html
Mendukung argumen awal saya (atau begitulah yang saya pikirkan).
Namun, seperti yang ditunjukkan RBJ tentang hubungan umum $A\cos(\theta) + B\sin(\theta)$ seperti yang diberikan di bawah ini memungkinkan $A$ dan $B$ menjadi rumit:
$$A\cos(\theta) + B\sin(\theta) = \sqrt{A^2+B^2}\cos(\theta + \gamma) \label{2} \tag{2}$$
dengan $\gamma = \arg(A-jB)$
Kapan $B = jA$ di atas akan menghasilkan:
$$A\cos(\theta) + jA\sin(\theta) = Ae^{j\theta}$$
namun, menggunakan hubungan penjumlahan di atas menghasilkan $0$:
$$ = \sqrt{A^2 - A^2}\cos(\theta + \arg(2A))$$
Jadi saya siap menyimpulkan itu $\ref{1}$ dan $\ref{2}$ menyelesaikannya untuk saya, mengingat bahwa kedua bentuk tersebut cukup mirip atau dapat dibuat dengan menambahkan fase sederhana, tetapi karena saya kemudian menunjukkan hubungan tersebut tidak mendukung kasus $e^{j\theta}$ (menghasilkan nol kecuali saya membuat kesalahan sederhana).
[Jika kita membuatnya $B = -jA$ kami dapat melanjutkan dengan solusi untuk $e^{-j\theta}$, tapi saya juga ingin menyelesaikan kasus di atas]
(Saya mengajukan pertanyaan ini di sini: https://math.stackexchange.com/questions/3836769/a-cos-theta-b-sin-theta-for-complex-a-b)
Derivasi lebih lanjut dari $A\cos(\theta) + B\sin(\theta)$ untuk memahami apa yang terjadi kapan $A$ dan $B$ tidak nyata:
$$A\cos(\theta) + B\sin(\theta)$$
$$= \frac{A}{2}e^{j\theta} + \frac{A}{2}e^{-j\theta} + \frac{B}{2j}e^{j\theta} - \frac{B}{2j}e^{-j\theta}$$ $$= \frac{A}{2}e^{j\theta} + \frac{A}{2}e^{-j\theta} - \frac{jB}{2}e^{j\theta} + \frac{jB}{2}e^{-j\theta}$$
Pada titik ini geometri dari penggambaran grafis ini mengungkapkan solusi yang disederhanakan menjadi ini ketika A dan B adalah nyata, menghasilkan hasil nyata dari gelombang sinus tunggal dengan pergeseran fasa:
Menghasilkan identitas yang diketahui:
$$A\cos(\theta) + B\sin(\theta) = \sqrt{A^2+B^2}\cos(\theta - \gamma)$$
Dimana $\gamma = \tan^{-1}(B/A)$
Yang jelas merupakan fungsi sinusoidal. Tapi pertimbangkan apa yang terjadi kapan$A$ itu nyata dan $B$ adalah khayalan, ini akan menghasilkan $jB$ menjadi nyata, menyelaraskan dengan salah satu fasor secara aditif dan mengurangi dari yang lain:
Yang mana $$\frac{A+jB}{2}\cos(\theta) - jBe^{j\theta}$$
Pertanyaan saya adalah apakah hasil ini dianggap sinusoidal, dan jika demikian definisi sinusoid yang digunakan?