Konsep statistik pesanan

Question

Saya kesulitan memahami konsep statistik pesanan. Jika saya punya$X_1, \ldots, X_n$ variabel acak, saya dapat menentukan statistik pesanan (yang juga merupakan variabel acak) $X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}$ yang merupakan penyortiran $X_1, \ldots, X_n$.
Saya tidak bisa mengurutkan variabel acak; sebagai gantinya saya harus memilah kesadaran mereka. Jadi, ketika saya mengurutkan realisasi ini, variabel acak tidak lagi berfungsi karena nilainya sekarang, (realisasi), jadi saya tidak mengerti mengapa$X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}$adalah variabel acak, karena mereka adalah penyortiran realisasi. Bisakah seseorang membantu saya?

Answer 1

Seperti yang saya lihat, Anda memiliki masalah hanya dengan definisi.

Catat itu $X_1,...,X_n:\Omega \to \mathbb R$ adalah variabel acak (yaitu fungsi yang dapat diukur).

Untuk diberikan $\omega \in \Omega$, Anda memiliki nilai-nilai tertentu $X_1(\omega),...,X_n(\omega)$.

Nilai-nilai tertentu tersebut dapat diurutkan (mungkin pengurutan tidak unik). Dengan kata lain, ada permutasi$\pi_{\omega}:\{1,...,n\} \to \{1,...,n\}$ seperti yang:

$$ X_{\pi_{\omega}(1)}(\omega) \le ... \le X_{\pi_{\omega}(n)}(\omega)$$

Sekarang, intinya adalah, Anda mendefinisikan $X_{(k)}:\Omega \to \mathbb R$ dengan rumus: $$ X_{(k)}(\omega) = X_{\pi_{\omega}(k)}(\omega)$$

Answer 2

Mereka adalah komposisi fungsi terukur dengan vektor acak $X=(X_{1}, \ldots X_{n})$, jadi mereka adalah variabel acak (karena komposisi fungsi terukur dengan variabel acak adalah variabel acak).

Ambil contoh kasusnya $n=2$. Kemudian kami memiliki dua variabel acak$X_1,X_2$, jadi $X=(X_1,X_2)$adalah vektor acak. Dalam hal ini file$X_{(1)}$ akan menjadi $X_{(1)}=\min(X)$ dan milikmu $X_{(2)}=\max(X)$. Fungsinya$g=\min$ dan $h=\max$ dapat diukur, jadi $X_{(1)}$ dan $X_{(2)}$ adalah variabel acak.

Untuk generik $n$ Anda akan mempertimbangkan $n$ fungsi terukur yang berbeda $g_i$ yang akan memberi Anda $i$-komponen terbesar dari $X=(X_{1}, \ldots X_{n}$).

Answer 3

Bagaimana Anda mendefinisikan de fungsi "minimal dua rv"? Itu yang tidak saya dapatkan

Membiarkan $X,Y$ menjadi dua rv independen

Mari kita definisikan $U=min(X,Y)$

Untuk mengkarakterisasi rv, cukup memiliki CDF-nya, jadi menurut definisi

$$P(U>u)=P(X>u,Y>u)=\text{using independence}=P(X>u)P(Y>u)=[1-F_X(u)][1-F_Y(u)]$$

Jadi

$$F_U(u)=1-[1-F_X(u)][1-F_Y(u)]$$

Answer 4

Minimum dua variabel acak adalah fungsi dari variabel acak tersebut, begitu juga variabel acak itu sendiri. Ini adalah konsep yang mirip dengan jumlah dua variabel acak yang juga merupakan variabel acak.

Misalnya jika $X_1$ dan $X_2$ apakah saya mengenakan seragam $[0,1]$ lalu minimum $X_{(1)}$ memiliki distribusi pada $[0,1]$tetapi lebih cenderung rendah daripada tinggi. Kepadatannya pada interval ini ternyata$f_{\min}(x)=2-2x$, sedangkan maksimal $X_{(2)}$ memiliki kepadatan $f_{\max}(x)=2x$; keduanya tidak independen dan dalam contoh ini memiliki korelasi$+0.5$.

Answer 5

Jika Anda tidak mengurutkan rv, itu bukan statistik urutan.

Perhatikan contoh berikut.

Membiarkan $X,Y$ menjadi seragam iid $U(0;1)$ kesadaran mereka dapat mengambil nilai apa pun $(0,;1)$indpendently, tetapi ketika realisasi selesai Anda selalu dapat mengurutkannya. Itu bukan statistik ketertiban. Sesuai independensi, kovarian mereka adalah$Cov(X,Y)=0$

Now let's $X,Y$ be the same rv $U(0;1)$ but now let $X$ be the minimum of the two random variables. Now they are ordered so they are Order Statistics. Their covariance now is not zero but $\frac{1}{36}$