Lagrange Multiplier dalam kalkulus multivariabel

Question

Saya ingin bertanya ketika kita menerapkan pengali Lagrange, kita akan mendapatkan beberapa poin kritis. Dan apakah cukup bahwa ekstrem global akan benar-benar datang dari nilai yang dievaluasi oleh titik-titik kritis yang ditemukan ini? Dengan kata lain, mungkinkah semua titik kritis yang ditemukan adalah titik sadel atau hanya maksimum tetapi tidak ada minimum misalnya? Jika tidak, dapatkah Anda memberi saya beberapa contoh? Terlebih lagi, apakah mungkin hanya mendapatkan satu titik kritis setelah menerapkan pengali Lagrange?

Answer 1

Asumsikan kita punya $f, g:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ dapat dibedakan dan kami ingin mencari nilai maksimum dan minimum $f$ di lokasi syuting $$ \mathcal{D} := \lbrace x\in \mathbb{R}^n: g(x) = 0 \rbrace. $$Maka satu pernyataan (dan hanya satu pernyataan) selalu benar. Jika$x^* \in \mathcal{D}$ adalah minimum / maksimum lokal $f$ di $\mathcal{D}$, lalu ada beberapa $\lambda \in \mathbb{R}$ seperti yang $$ \nabla f(x^*) + \lambda \nabla g(x^*) = 0. $$

Kami menyebut titik-titik itu sebagai titik kritis .

Apa yang biasanya Anda lakukan adalah memutuskan jika $\mathcal{D}$kompak atau tidak. Jika memang demikian, kita tahu bahwa maksimum dan minimum global harus ada. Tentu saja, itu adalah salah satu poin penting. Anda dapat menemukannya dengan mengevaluasinya$f$di titik kritis. Nilai terendah adalah minimum dan terbesar adalah maksimum.

Contoh pertama: $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x, y) = x+y$, $g(x, y) = x^2+y^2 - 1$

Jelas, $\mathcal{D}$kompak. Satu-satunya titik kritis adalah$\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^\top$ dengan $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ dan $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^\top$ dengan $\lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Menurut saya mudah untuk memutuskan mana yang minimum / maksimum.

Contoh kedua: $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x, y)= \exp(-x^2-y^2)$, $g(x, y) = y$.

Satu-satunya titik kritis adalah $(0, 0)$ dengan $\lambda = 0$. Seseorang dapat segera melihat bahwa itu adalah maksimum global karena$\displaystyle \max_{t \in (-\infty, 0]} \exp(t) = \exp(0)$.

Contoh ketiga: $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x, y) = x^3 + y^3$, $g(x, y) = x-y$

Satu-satunya titik kritis adalah $(0, 0)$ dengan $\lambda = 0$. Ini adalah titik pelana yang bisa Anda lihat dengan melihatnya$f(t, 0) = t^3$. Jika$t>0$, $f(t, 0)$ positif dan jika $t<0$, $f(t, 0)$ negatif.

(Tentu saja kasus lain mungkin terjadi)