Logaritma matriks tunggal

Question

Saya ingin menghitung kuantitas berikut:

$X=Tr[\rho_1 \log[\rho_2]]$,

seperti dalam entropi relatif . Sini,$\rho_1, \rho_2$ adalah matriks semidefinite positif dengan dukungan non-ortogonal (sehingga hal tersebut tidak menyimpang - istilah seperti $0 \log[0]$ harus dibawa ke nol, yang merupakan asumsi standar) dan $Tr$ adalah jejak.

Ada pertanyaan SE serupa , fungsi yang diberikan

MatrixLogSafe[x_] := MatrixFunction[Piecewise[{{Log[#1], #1 > 0}}] &, x]

yang harus berurusan dengan logaritma matriks, namun berperilaku aneh.

Untuk mantan saya berasumsi bahwa $\rho_1 =\rho_2 =\{\{0.33,0,0\},\{0,0,0\},\{0,0,0.66\}\}$. Kuantitas$X$ seharusnya

$X=0.33 \log[0.33] + 0.66 \log[0.66]= -0.640099$.

Namun, menggunakan MatriLogSafe dalam definisi memberikan hasil yang berbeda:

In[402]:= Tr[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}.MatrixLogSafe[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}]]

Out[402]= -0.731717

Masalahnya adalah, MatrixLogSafe terkadang "mengalihkan vektor eigen",

In[403]:= MatrixLogSafe[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}]

Out[403]= {{0., 0., 0.}, {0., -0.415515, 0.}, {0., 0., -1.10866}}

(begitu $\log[0.33]= -1.10866$ dan $\log[0.66]=-0.415515$, tetapi outputnya harus {{-1.10866, 0, 0.}, {0., 0., 0.}, {0., 0., - 0.415515}}).

(Entah bagaimana menurut saya masalahnya adalah saya menggunakan nilai numerik, tetapi saya ingin fungsi tersebut berfungsi untuk angka numerik dan "tepat" (?))

Bagaimana cara memperbaikinya?

---

Saya telah mempertimbangkan jawaban yang diberikan oleh Carl Woll, namun masih ada yang tidak berfungsi. Secara khusus, pertimbangkan dua matriks,$\rho_1$:

{{1/4, 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/
  4}, {1/4 E^((I \[Pi])/10), 1/4, 1/4, 
  1/4 E^((I \[Pi])/10)}, {1/4 E^((I \[Pi])/10), 1/4, 1/4, 
  1/4 E^((I \[Pi])/10)}, {1/4, 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/4}}

dan $\rho_2$:

{{1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2}, {1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 
  1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))}, {1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))}, {1/(
   4 Sqrt[E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E])}}

yang mungkin jelek, tetapi keduanya Hermitian dan positif-semi-pasti.

Saya menjadi bagaimanapun kompleks $X$ ($X=densityTrace[\rho_1,\rho_2]=-0.0019613 + 0.393667 I$), yang tidak mungkin!

Namun, jika saya menghitung terlebih dahulu matriks numerik saya mendapatkan keluaran nyata $densityTrace[N[\rho_1],N[\rho_2]]=-0.0432473$ (?!)

Saya telah sedikit mengubah definisi densityTrace

densityTrace[a_, b_] := Module[{λ, S, d},
{λ, S} = Eigensystem[b];
S = Transpose[S];
d = Diagonal[Inverse[S]. a. S];
Total @ MapThread[If[Chop[#1]==0,0,Chop[#1] Log[Chop[#2]]]&, {d, λ}]

]

(menambahkan Chop), untuk membuang beberapa "limbah" imajiner yang sangat kecil, apakah itu ide yang bagus?

Answer 1

Mungkin Anda bisa menggunakan Eigensystemuntuk mengubah matriks tunggal Anda$\rho_2$ ke $S.d.S^{-1}$, lalu gunakan properti siklis Tr. Itu adalah:

$$ \begin{align} \text{Tr}{\left(\rho_1 . \log(\rho_2) \right)}&= \text{Tr}{\left(\rho_1 . \log(S . d . S^{-1})\right)} \\ &= \text{Tr}{\left(\rho_1 . S . \log(d) . S^{-1} \right)}\\ &= \text{Tr}{\left(S^{-1} . \rho_1 . S . \log(d)\right)}\\ &= \text{Diagonal}{\left( S^{-1} . \rho_1 . S\right) . \log (d)} \end{align} $$

Beberapa kode yang mengimplementasikan ide ini:

densityTrace[a_, b_] := Module[{λ, S, d},
    {λ, S} = Eigensystem[b];
    S = Transpose[S];
    d = Diagonal[Inverse[S]. a. S];
    Total @ MapThread[If[#1==0,0,#1 Log[#2]]&, {d, λ}]
]

Untuk matriks contoh Anda:

m1 = m2 = DiagonalMatrix[{.33, 0, .66}];
densityTrace[m1, m2]

-0,640099

Answer 2

Mungkin lebih mudah untuk mendeteksi singularitas lebih awal:

MatrixLogSafe[x_?SquareMatrixQ] /; Det[x] > 0 := MatrixLog[x];
MatrixLogSafe[x_?SquareMatrixQ] := ConstantArray[0, Dimensions[x]];

Saya bisa saja salah tentang kondisi persis yang Anda butuhkan. Bagaimanapun, saya tidak berharap MatrixFunction[Piecewise[...]]banyak membantu Anda. Saya bahkan tidak yakin apa kondisi # > 0yang seharusnya dilakukan di dalam MatrixFunction.