Luas sub-segitiga di dalam segitiga

Question

Membiarkan $ABC$ menjadi segitiga luas $a$. Segmen$\overline{AB}$ dibagi $n$ titik dan segmen yang berjarak sama $\overline{AC}$ dibagi $m$titik jarak yang sama. Temukan luasnya$b$ segitiga $DEF$ dalam fungsi area $a$ (segi tiga $ABC$), di mana $D$ adalah salah satu titik jarak yang sama di segmen $\overline{AB}$ dan $E$, $F$ adalah dua dari titik jarak yang sama di segmen $\overline{AC}$.

Gambar di bawah menunjukkan satu contoh di mana, $n=3$, $m=4$, $D=2$, $E=1$ dan $F=2$. Segitiga merah mewakili luas yang akan ditemukan dalam fungsi segitiga yang lebih besar.

Answer 1

Ini menggunakan teorema Cina yang namanya dalam bahasa Inggris kira-kira merupakan Teorema Kepala Burung yang memberi tahu kita bahwa luas $\triangle AXY$ dalam $\triangle ABC$ dimana $X$ aktif $AB$ dan $Y$ aktif $AC$ adalah $[ABC]\cdot\frac{AX}{AB}\cdot\frac{AY}{AC}$. Buktinya sangat sederhana dan harus masuk akal jika Anda mempertimbangkan rasio sisi. Ini dapat dilihat sebagai generalisasi dari fakta bahwa kapan$X$ dan $Y$ adalah titik tengah, $XY$ adalah garis tengah dan $[AXY]=\frac14[ABC]$.

Ini membuat masalah menjadi sangat mudah dan memberi $[ABC]\cdot\frac{D}{n+1}\cdot\frac{F}{m+1}-[ABC]\cdot\frac{D}{n+1}\cdot\frac{E}{m+1}=\boxed{[ABC]\cdot\frac{D}{n+1}\cdot\frac{F-E}{m+1}}$

Answer 2

Petunjuk: gunakan rasio luas$2$segitiga. Mari gunakan diagram Anda untuk menghitung area merah dan Anda dapat menggeneralisasikannya dengan mudah. Area merah adalah setengah dari luas segitiga yang simpulnya berada$0,2,2$ daerah siapa lagi $\frac{2}{5}$ luas segitiga yang simpulnya berada $0,2,5$ dan pada gilirannya yang luasnya setengah luas segitiga yang simpulnya berada $0,4,5$. Semoga membantu.

Answer 3

Tanpa kehilangan sifat umum kita dapat berasumsi demikian $F$ berada diantara $A$ dan $E$. Ingatlah bahwa luas segitiga adalah setengah dari hasil kali panjang sisi yang berdekatan oleh sinus sudut antara sisi-sisi ini. Karena itu, sejak segitiga$DEF$ dan $DEA$ memiliki sudut pandang yang sama $\angle E$ dan sisi umum $DE$, area mereka berhubungan sebagai sisi yang berdekatan dengan sudut $\angle E$, itu adalah $\frac{\operatorname{area}(\triangle DEF)}{\operatorname{area}(\triangle DEA)}=\frac{EF}{EA}$. Juga sejak segitiga$DAE$ dan $BAC$ memiliki sudut pandang yang sama $\angle A$, $\frac{\operatorname{area}(\triangle DAE)}{\operatorname{area}(\triangle BAC)}=\frac{DA}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}$. Akhirnya,$$b=\operatorname{area}(\triangle DEA)=\frac{EF}{EA}{\cdot\operatorname{area} (\triangle DEA)}=\frac{EF}{EA}\cdot\frac{DA}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}\cdot {\operatorname{area}(\triangle BAC)}= \frac{EF}{EA}\cdot \frac{DA}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}\cdot a.$$

Answer 4

Poin-poin tersebut secara kanonik diberi label sedemikian rupa $B \le D \le C$. Artinya jika$D > C$, kami menukar label sebelum menerapkan logika berikut.

Menggunakan rumus Sisi-sudut-sisi, kami menghitung luas $\triangle ABD$ sebagai

$$x = { AB \times BD \times sin(\theta) \over 2}$$

Area dari $\triangle ABC$:

$$y = { AB \times BC \times sin(\theta) \over 2}$$

Area dari $\triangle ADC = y – x$, diberikan oleh

$$y - x = { { AB \times BC \times sin(\theta) \over 2} - { AB \times BD \times sin(\theta) \over 2} } = {{AB sin(\theta)} \times (BC - BD) \over 2}$$

Rasio Area ($\triangle ADC$ / $\triangle ABC$) diberikan oleh

$$BC - BD \over BD$$

Ini benar bila $BC - BD > 0$. Kapan$BC - BD = 0$, itu $\triangle ADC \cong \triangle ABC$ dan rasionya adalah $1$.

---

Saya perhatikan bahwa saya telah menggunakan nomenklatur yang berbeda untuk segitiga dari apa yang digunakan OP dalam pernyataan soal dan juga fakta bahwa segitiga terbesar memiliki luas $a$. Untuk konsistensi dalam pembuktian, izinkan saya menyebut segitiga luar sebagai$\triangle A'BC'$ (daerah $= a$). Menggunakan prinsip yang sama seperti yang dijelaskan di atas untuk menghitung rasio luas segitiga, rasio Luas$\triangle A'BC'$ dan Luas $\triangle ABC$ diberikan oleh

$$A'B \times BC' \over AB \times BC$$

Rasio Area ($\triangle ADC$ / $\triangle A'BC'$) diberikan oleh

$${BC - BD \over BD} \div {A'B \times BC' \over AB \times BC}$$

$\therefore$, Area $\triangle ADC$ diberikan oleh

$${BC - BD \over BD} \times {AB \times BC \over A'B \times BC'} \times a$$

Mengganti $A'B = 4$ dan $BC' = 5$, kita mendapatkan

Daerah $\triangle ADC$

$$ = \big( {BC - BD \over BD}\big) \times {AB \times BC \over 4 \times 5} \times a$$

Seperti yang disebutkan sebelumnya, ini benar ketika $BC - BD > 0$. Kapan$BC - BD = 0$, itu $\triangle ADC \cong \triangle ABC$ dan rasio (diberikan di dalam tanda kurung) adalah $1$.

Catatan: Sekadar pengingat, sisi-sisinya seperti yang ditunjukkan pada gambar dalam respons ini (yang sedikit berbeda dari nomenklatur yang digunakan oleh OP).