Membuktikan: $(\Delta x)(\Delta \lambda) \geq \frac{\lambda^2}{4\pi}$

Question

Saat ini saya sedang menjalani rumus

$$(\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{h}{4\pi}$$

yang tentu saja merupakan bentuk tertutup dari Prinsip Ketidakpastian Heisenberg . Tapi saya juga mendapatkan formula ini

$$(\Delta x)(\Delta \lambda)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}.$$

Saya kira ini adalah perpanjangan dari prinsip Heisenberg tetapi saya tidak mendapatkan catatan seperti itu di dalam buku. Lebih jauh saya pikir itu mungkin berasal dari hipotesis de Broglie dan mungkin beberapa kalkulus tetapi itu hanya tebakan. Jadi untuk alasan ini saya mengharapkan jawaban dari Anda dan terlebih lagi akan lebih baik untuk memiliki beberapa interpretasi fisik dari rumus ini seperti yang kita miliki untuk prinsip Heisenberg .

Answer 1

Mulai dari prinsip ketidakpastian umum untuk dua operator sewenang-wenang$\Omega$ dan $\Phi$ $$(\Delta\Omega)^2(\Delta\Phi)^2\geq\frac{1}{4}\left|\langle \psi | [\Omega,\Phi] | \psi\rangle\right|^2$$ dimana $|\psi\rangle$ adalah negara sewenang-wenang dan $[\Omega,\Phi]=\Omega\Phi-\Phi\Omega$, komutator. Kami tahu dari De Broglie itu$\lambda=\frac{h}{p}$; dari sini, kami menghitung braket Possion dari$x$ dan $\lambda$ sebagai $$\begin{align}\{\lambda,x\}&=\frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial x}{\partial x}\frac{\partial\lambda}{\partial p}\\ &=\frac{h}{p^2}\\ &=\frac{\lambda^2}{h}\end{align}$$ Sekarang, aturan populer Dirac untuk kuantisasi (berfungsi dalam banyak kasus) adalah mengatakan itu $$\{\omega,\phi\}=\frac{2\pi}{i h}[\Omega,\Phi]$$ jadi kita punya $$[\Lambda, X]=i\frac{\Lambda^2}{2\pi}$$. Memasukkan ini ke dalam prinsip ketidakpastian umum yang asli,$$(\Delta\Lambda)^2(\Delta X)^2\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle^2}{16\pi^2}$$ dan dengan demikian $$(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}$$ Nah, dari definisi deviasi standar, kita tahu itu $(\Delta X )^2+\langle X\rangle^2=\langle X^2\rangle$, jadi kita punya $$\begin{align} (\Delta\Lambda)(\Delta X)&\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}\\ &\geq\frac{1}{4\pi}((\Delta\Lambda)^2+\langle\Lambda\rangle^2) \\ &\geq\frac{\langle\Lambda\rangle^2}{4\pi} \end{align} $$karena standar deviasi pasti positif. Jadi, menunjukkan nilai ekspektasi$\Lambda$ sebagai $\lambda$, akhirnya kita punya $$\bbox[5px,border:2px solid black]{(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}}$$Prinsip ketidakpastian ini berbeda dari momentum posisi-normal; bukannya produk ketidakpastian selalu lebih besar dari konstanta, produk dari deviasi standar posisi dan panjang gelombang lebih besar dari atau sama dengan nilai rata-rata panjang gelombang dibagi dengan$4\pi$. Jadi, ini menghubungkan ketidakpastian dalam posisi dan panjang gelombang dengan nilai rata-rata panjang gelombang.