Membuktikan properti batas

Question

Saya ingin membuktikan properti berikut:

Membiarkan $(a_n),(b_n)$ menjadi Urutan dalam $\mathbb{R}$, $a_n\to a $ dan $b_n\to b$

$(\exists\ n_0 \in\mathbb{N}\ \forall n \geq n_0: a_n \leq b_n)\Rightarrow a\leq b $, seharusnya $a>b\ , \epsilon:=(a-b)/2 $

Di beberapa titik naskah saya menyebutkan itu $-(a_n-a)<\epsilon $ dan $b_n - b<\epsilon$

Bisakah seseorang menjelaskan kepada saya intusi di balik langkah di atas.

Terima kasih sebelumnya.

Answer 1

Anda ingin membuktikannya, asalkan urutan pertama menyatu $a$ dan yang kedua $b$, itu berlaku $a\le b$.

Seandainya tidak demikian $a>b$. Karena itu$\varepsilon=(a-b)/2>0$ dan kami dapat menemukan $n_1\ge n_0$ seperti itu, untuk $n\ge n_1$, $$ |a_n-a|<\varepsilon,\qquad |b_n-b|<\varepsilon \tag{*} $$ Ini diterjemahkan menjadi $$ -\varepsilon<a_n-a<\varepsilon,\qquad -\varepsilon<b_n-b<\varepsilon $$ Pasangan pertama ketidaksetaraan menyiratkan $-(a_n-a)<\varepsilon$. Anda juga bisa mengisolasi$b_n-b<\varepsilon$ dan mendapatkan kontradiksi.

Di sisi lain, saya lebih sederhana menulis ulang (*) sebagai $$ a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon,\qquad b-\varepsilon<b_n<b+\varepsilon $$ dan amati itu $b+\varepsilon=(a+b)/2=a-\varepsilon$, jadi ini menjadi $$ \frac{3b-a}{2}<b_n<\frac{a+b}{2}<a_n<\frac{3a-b}{2} $$ dan ketidaksetaraan sentral memberikan kontradiksi.