Menemukan lim sup

Question

Saya tidak dapat menemukan cara untuk menyelesaikan ini. Saya telah mencoba menggunakan definisi lim sup tetapi tidak mendapat tempat.

Pertimbangkan seri ini: $\sum^\infty_{n=1} a_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\cdots$

Kemudian $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=$

Sunting: Ini adalah pekerjaan yang telah saya lakukan kemarin malam. Saya minta maaf karena tidak menunjukkan pekerjaan saya.

Saya telah melihat urutannya $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. Saya mengamati bahwa itu terlihat seperti$\frac{2}{3}, \frac{3}{2^2}, \frac{2^2}{3^2},\frac{3^2}{2^3},\cdots$.

Jadi, istilah umumnya terlihat seperti $(\frac{2}{3})^n$ untuk $n$ aneh dan $\frac{1}{2}(\frac{3}{2})^n$ untuk $n$ bahkan.

Saya melihat bagian atas dari urutan ekor dan kemudian memutuskan untuk menemukan yang paling rendah. Urutan seperti yang saya temukan$\infty$ sebagai supremum dari setiap urutan ekor sejak urutan untuk $n$bahkan meningkat secara monoton. Jadi saya menyimpulkan bahwa limsup seharusnya$\infty$. Namun, jawabannya diberikan$\frac{1}{2}$.

Urutan yang saya temukan ini tentu saja merupakan kesalahan karena eksponen yang saya ambil salah.

Urutannya sebenarnya terlihat seperti $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\cases{(\frac{2}{3})^{\frac{n+1}{2}}& n is odd\\ \frac{1}{2}(\frac{3}{2})^\frac{n}{2}& n is even}$

Tapi tetap saja, urutan supremum ekornya hanya terdiri dari $\infty$ dan karenanya yang paling bawah dari supremum adalah $\infty$. Apa yang saya lewatkan?

Answer 1

Argumen Anda baik-baik saja dan "bandit" yang satu ini adalah pembuat masalah karena membuatnya tidak jelas bagaimana caranya $a_{n}$harus diekspresikan. Sesuatu yang menurut saya benar bagi beberapa penulis adalah itu; bila ragu buku teks Matematika selalu ditulis dalam "tiga".

---

Jika bukannya mengobati $a_{n}$ menjadi urutan kekuatan timbal balik bolak-balik $2$ dan $3$, kami ambil $a_{n}$ menjadi urutan kekuatan yang sama, seperti pada $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}$, lalu kita mendapatkan deskripsi alternatif (dan setelah itu benar) dari seri yang dimaksud. Dengan urutan perhitungan berikut kami mencapai$\lim \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$:

Pertama dengan menulis ulang $a_{n}$ pada penyebut umum yang kita dapatkan $a_{n}=\frac{3^{n}+2^{n}}{6^{n}}$ sehingga

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6(2^{n}+3^{n})}.$$

Membagi pembilang dan penyebut dengan $3^{n+1}$ kami tiba di $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}.$$ Sekarang sejak $$(\frac{2}{3})^{n},(\frac{2}{3})^{n+1}\to 0 \ \text{as} \ n \to \infty$$ kami mengerti $$\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim \frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}=\frac{1}{2}.$$ Karena $\lim \sup x_{n} = \lim x_{n}$ untuk sebuah urutan $x_{n}$ yang konvergen, kita dapat menyimpulkan itu $$\lim_{n\to\infty} \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$$.