Menemukan matriks dasar

Question

Jadi mari kita pertimbangkan matriks ini $$A=\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$ $$ B =\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1\\ \end{bmatrix} $$

Dan pertanyaannya adalah menemukan matriks yang dapat dibalik $X$ seperti yang $AX=B$ dan ekspresikan $X$sebagai produk dari 2 matriks dasar.

Apa yang saya tahu Saya mencoba: Jadi saya tahu bahwa Anda dapat dengan mudah mendapatkan X dengan membalikkan A dan mengalikannya dengan B tetapi saya memerlukan dua matriks dasar jadi saya mencoba solusi yang berbeda.

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B$$

Jadi yang saya lakukan adalah mencoba membuat A sama dengan dengan operasi baris dasar dan melakukan hal yang sama ke 2 lainnya $\times$ 2 matriks identitas.

$$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} \iff R_{2}$$

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} + R_{2} \implies R_{1} $$

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

Jadi saya bisa sampai ke C dalam dua operasi dasar seperti masalah yang ditentukan. Tapi kemudian ketika saya mencoba memeriksa dengan persamaan asli saya:

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B $$ $$\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\end{pmatrix}\begin{bmatrix}1& 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}$$

Itu tidak sama dengan C. Saya tidak mengerti apa yang saya lakukan salah? Saya telah mencoba melakukan perhitungan berulang kali dan saya masih sampai pada hal yang sama. Dimana kesalahan saya disini? Apakah ini prosesnya sendiri?

Answer 1

Coba hitung $A^{-1}B$ dan Anda akan melihat bahwa matriksnya berbeda dari $E_1E_2$ , jadi karena kebalikan dari matriks persegi unik (dan begitu $A^{-1}B$ juga) metode Anda salah.

---

Untuk mengatasi masalah tersebut saya akan menggunakan properti dari matriks traspose, yaitu:

$$(KA)^T=A^TK^T$$

Untuk menggunakan ini temukan matriks dasar untuk sistem: $$KA^T = B^T$$ dengan $K=E_2E_1$, lalu traspose semuanya, dapatkan:

$$(E_2E_1A^T)^T = (B^T)^T \iff AE_1^TE_2^T = B$$