Menemukan norma operator ini

Question

Saya memiliki ruang ini $X=C([-1,1],\mathbb{C})$ ruang fungsi berkelanjutan dari $[-1,1] \to \mathbb{C}$, biarkan $t_1,\dots,t_n \in [-1,1]$ dan $c_1,\dots c_n\in \mathbb{C}$. Pertimbangkan operatornya:$f: X \to \mathbb{C} $ sebagai: $$f(x)=\sum_{j=1}^n c_j x(t_j).$$ Saya harus membuktikannya $f$ adalah operator terikat dari $X$ untuk $\mathbb{C}$ dan menemukan $||f||$. Saya telah berhasil membuktikan bahwa itu terbatas, tetapi saya mengalami masalah dalam menemukannya$||f||$. Ingatlah bahwa norma dalam$X$ adalah $\sup$norma. Jika kami menunjukkan$\gamma_j=||c_j|| $: $$\sup_{x\in X}\frac{||f(x)||}{||x||}=\sup_{x\in X}\frac{||\sum_{j=1}^n c_j x(t_j)||}{||x||}=\sup_{x\in X} \sum_{j=1}^n \gamma_j \frac{||x(t_j)||}{||x||} $$ Jelas $|| f||$ tergantung secara eksplisit $\gamma_j$, tapi saya tidak tahu betul bagaimana melanjutkan dan entah bagaimana menunjukkan angka yang lebih eksplisit. Ide apa pun akan membantu.

Answer 1

Petunjuk 1: Anda melakukan kesalahan, persamaan berikut tidak benar:

$$ \sup_{x\in X}\frac{||\sum_{j=1}^n c_j x(t_j)||}{||x||}\neq \sup_{x\in X} \sum_{j=1}^n \gamma_j \frac{||x(t_j)||}{||x||}$$

Petunjuk 2: Untuk semua$c_j \neq 0$ dilambangkan dengan $\omega_i:= \frac{c_j}{||c_j||}$.

Kemudian $$\|\sum_{j=1}^n c_j x(t_j)\| \leq \sum_{j=1}^n| c_j| | x(t_j)| \leq \sum_{j=1}^n| c_j| \| x\| $$

Ketidaksetaraan pertama adalah persamaan kapan tepatnya $$\overline{\omega_j} x(t_i)=|x(t_i)|$$ sedangkan yang kedua adalah persamaan tepatnya kapan $$|x(t_i)|=\|x\|$$