Mengapa batas multivariabel ini ada?

Question

Pertimbangkan batasannya $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{tan^{-1}(xy)}{xy}$$

Argumen saya mengapa batas tidak ada: Itu tidak ada di sepanjang jalan $y=0$. Atau, dalam pandangan lain,$\frac{tan^{-1}(xy)}{xy}$ tidak ditentukan pada titik tak terbatas di lingkungan mana pun $(0,0)$.

Tetapi dalam banyak pertanyaan seperti ini, penalaran di atas diabaikan, dan kami lanjutkan dengan teknik lain. (Seperti ini: Kalkulus sin batas dengan dua variabel [multivariabel-kalkulus] ) Tapi bagaimana itu valid? Bisakah batasannya ada dengan fungsi tidak terdefinisi di begitu banyak titik di sekitar titik tertentu?

Answer 1

Berikut definisi batasan:

Membiarkan $X,Y$ menjadi ruang metrik, $E\subseteq X$, $f:X\to Y$ menjadi fungsi, dan $a$ menjadi titik batas $E$. Kami mengatakan fungsinya$f$ memiliki batas pada $a$ (di luar angkasa $Y$) jika kondisi berikut terpenuhi:

• Ada disana $l\in Y$ seperti itu untuk setiap $\epsilon>0$, ada a $\delta>0$ seperti itu untuk semua $x\in E$, jika $0 <d_X(x,a)< \delta$ kemudian $d_Y(f(x), l) < \epsilon$.

Dalam hal ini, kami dapat membuktikannya $l$ unik dan kami menulis $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l$

Dalam rumusan batasan ini, perhatikan fungsinya $f$ tidak harus didefinisikan di seluruh ruang $X$. Ini hanya perlu didefinisikan pada subset tertentu$E$ (sangat mungkin itu $X\setminus E$adalah himpunan yang tidak terbatas, tetapi ini tidak masalah). Apalagi intinya,$a$, di mana kami menghitung batasnya bahkan tidak harus berupa elemen $E$; kita hanya butuh$a$ menjadi titik batas $E$.

Dalam kasus Anda, kami mengambil $X=\Bbb{R}^2, Y= \Bbb{R}$ (keduanya dengan metrik Euclidean biasa) dan $E = \{(x,y)\in\Bbb{R}^2| \, xy \neq 0\}$. Dalam hal ini, kami mendefinisikan$f:E\to Y= \Bbb{R}$ oleh $f(x,y) = \frac{\arctan(xy)}{xy}$, dan intinya $(0,0)$ tentu saja merupakan titik batas himpunan $E$. Jadi, kita pasti bisa mencoba menghitung limit (dan dalam hal ini limit memang ada dan sama$1$... jika Anda membutuhkan penjelasan lebih lanjut tentang itu beri tahu saya)