Mengevaluasi ekspektasi variabel acak
Membiarkan $v_1 ,..., v_n \in \mathbb{R}^n$ menjadi vektor kesatuan dan independen linier dan $X_1,...,X_n$ variabel acak independen (pada ruang probabilitas tertentu) sehingga setiap $X_i$ memiliki distribusi parameter Bernoulli $p_i \in [0,1]$.
a) Biarkan $Y(w)= \sum _{i=1} ^n X_i(w) v_i$, hitung ekspektasi $Z$, dimana $Z(w)= || Y(w) -v ||^2$ dengan $v= \sum _{i=1}^n a_i v_i \in \mathbb{R}^n $.
b) Misalkan V =$ \{ \sum _{i=1}^n a_i v_i|a_i \in [0,1]\}$, tunjukkan itu untuk semua $v \in V$ ada sebuah $y \in V$ seperti yang $|| y-v||^2\le \frac{ n}{4}$ dan $y= \sum _{i=1}^n b_iv_i$, dengan $b_i \in \{0,1\}$. Petunjuk: menggunakan a).
Saya telah menemukan latihan ini secara online dan saya mengalami beberapa masalah dalam memecahkan poin b). Saya telah melakukan poin a) memilih$( \mathbb{R}^n, B, P)$ sebagai ruang probabilitas, di mana B adalah Borel $\sigma $-aljabar dan P sama dengan hasil kali $X_i$distribusi. Saya telah menemukan bahwa ekspektasi Z adalah\begin{align}&\sum _{i=1}^n \| (1-a_i)v_i + \sum_{j=1, j \neq i}^n (-a_j)v_j\|^2 p_i \prod_{j=1, j \neq i}^n (1-p_j)\\&+\sum _{i,j=1,i<j}^n \|(1-a_i)v_i +(1-a_j)v_j+ \sum _{k=1, k \neq i,j}^n (-a_k)v_k\|^2 p_i p_j \prod _{k=1, k \neq i,j}^n (1-p_k)+\dots\\&+\|\sum_{i=1}^n (1-a_i)v_i\|^2 \prod_{i=1}^n p_i .\end{align}
Saya ingin tahu apakah solusi saya pada poin a) benar dan menerima beberapa saran untuk poin b).
Terima kasih
Jawaban
Saya kira poin b adalah pokok bahasan dari latihan tersebut dan dapat dibuktikan sebagai berikut.
a)) Biarkan $y=\sum x_i v_i$, dimana $x_i=1$ dengan probabilitas $p_i$ dan $x_i=0$ dengan probabilitas $1- p_i$, secara mandiri.
Kemudian
$$\|y-v\|^2=\|\sum (x_i-a_i)v_i\|^2=\sum_{i,j=1}^n (x_i-a_i)(x_j-a_j)(v_i,v_j). $$
Begitu $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_ip_j(1-a_i) (1-a_i)-p_i(1-p_j)(1-a_i)a_j-(1-p_i)p_ja_i(1-a_j)+(1-p_i)(1-p_j)a_iaj_j)(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i(1-a_i)^2+(1-p_i)a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left(\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i, \sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right) -\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left\|\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right\|^2+ \sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i).$$
b)) Memilih $p_i=a_i$ untuk setiap $i$, kami mendapatkan itu $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n p_i-p_i^2\le \sum_{i=1}^n \frac 14=\frac n4,$$ yang menyiratkan poin b.