Nilai Batas Rantai Markov

Question

Misalkan saya memiliki rantai Markov berikut. $X_0 > 0$ adalah konstanta tetap dan untuk setiap $1 \leq n \in \mathbb{N}$ kita punya $$X_n = \begin{cases} 1.5X_{n-1} & \text{with probability } 0.5 \\ rX_{n-1} & \text{with probability } 0.5 \end{cases} $$

Saya ingin mencari nilai minimum $r$ sedemikian rupa sehingga nilai pembatas dari $X_n$ lebih besar atau sama dengan $X_0$, jumlah aslinya. Saya pikir membuat ini martingale sudah cukup (yaitu pengaturan$r = 0.5$) tetapi ketika saya menjalankan simulasi nilai yang membatasi adalah nol setiap kali, jadi jelas ini salah.

Saya mencari nilai $r$ sehingga batasnya tepat $X_0$karena (Saya menduga) segala sesuatu yang lebih besar akan mengarah pada batas tak terbatas hampir pasti. Masalah ini tidak masuk akal bagi saya. Tolong bantu jika Anda bisa.

Answer 1

Kami sebenarnya dapat mengatakan banyak tentang model umum $$X_n=rX_{n-1}:\text{probability }=p$$ $$X_n=\frac{3}{2}X_{n-1}:\text{probability }=1-p$$Membiarkan $K_{n}\sim\ \text{Binomial}(n,p)$ dan letakkan $X_{n}:=r^{K_n}\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-K_n}x_{0}$. Secara intuitif kita mungkin memikirkannya$K_n$ seperti menghitung berapa kali kita mengalikan suku berurutan dengan $r$dalam proses acak ini. Kasus ketika$r>1$ sudah jelas, jadi mari kita asumsikan $r\in (0,1]$. Kapan$n$ besar, kita dapat menggunakan pendekatan normal untuk distribusi binomial dan menyimpulkan untuk tetap $a>0$ bahwa $$P(X_n > a)=P\Bigg(K_n < \frac{\ln(a/x_0)+n\ln(2/3)}{\ln(2r/3)}\Bigg)\approx \phi\Bigg(\frac{\ln(a/x_0)}{\sqrt{np(1-p)}\ln(2r/3)}+\sqrt{n}\cdot \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}\Bigg)$$ dimana $\phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt$. Kami melihat$$\lim_{n\rightarrow \infty}P(X_n>a)=1 \iff \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}>0 \iff r>\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}} $$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}P(X_n<a)=1 \iff \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}<0 \iff r<\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}}$$ Jelas $r=\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}}$adalah ambang batas kami yang diilustrasikan dalam grafik ini . Pengambilan$p=1/2$ hasil $r=2/3$ seperti yang dipersyaratkan.

Answer 2

Moral dari cerita ini tampaknya adalah bahwa proses Anda tidak menyatu. Penjelasan berikut.

Kami mempertimbangkan proses seperti yang Anda tulis, dengan $r = 2/3$.

Membiarkan $P_i$ menjadi variabel acak itu $2/3$ dengan probabilitas $1/2$, dan $3/2$ dengan probabilitas $1/2$. Kami tertarik pada variabel acak$Z_n = \prod_{i = 1}^n P_i$, dan kami ingin mencari tahu bagaimana kami bisa mendapatkannya $Z_n \to 1$ (dalam arti tertentu), sejak $X_n = Z_n X_0$ dalam notasi Anda.

Mempertimbangkan $\log(Z_n) = \sum_{i = 1}^n \log(P_i)$. Lalu masing-masing$\log(P_i) = \pm ( \log(3) - \log(2))$. Jadi, setelah dilakukan penskalaan dengan membagi dengan$\log(3) - \log(2)$, kami dapat menganalisis proses berikut:

$Y_i = \pm 1$, dengan probabilitas $1/2$ masing-masing, dan kami ingin memahami $S_n = \sum_{i = 0}^n Y_i$.

Baik, $S_n$ adalah jalan acak klasik, ia tidak menyatu bahkan dalam distribusi kecuali Anda mengubah ukurannya.

Jadi jika $X_n$ bertemu dalam kemungkinan atau hampir pasti, lalu $S_n = \frac{1}{\log(3) - \log(2)} \log( X_n)$juga, karena fungsi yang kita terapkan kontinu dan teorema ini berlaku. Bagaimanapun, karena pengulangan tak terbatas dari jalan acak sederhana terus$\mathbb{Z}$, $X_n$ akan mengambil semua kemungkinan nilai berkali-kali tanpa batas.

Sudut pandang ini juga menjelaskan mengapa $2/3$ adalah faktor penyeimbang - faktor lain apa pun dan Anda akan melayang menuju tak terhingga atau tak terhingga negatif di sisi jalan acak sederhana.