Nilai eigen dari $A^{2018}$

Question

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari $A^{2018}$. $$ A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

---

Solusi saya:

Pertama, dengan mengurangi baris pertama dikalikan tiga dari baris kedua kita dapatkan: $$ A\approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

Kami mencapai matriks segitiga atas sehingga polinomial karakteristiknya adalah: $$ \chi_{A^{2018}}(\lambda)=det (\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}^{2018}-\lambda I)=(1^{2018}-\lambda)((-8)^{2018}-\lambda)(4^{2018}-\lambda) $$

Oleh karena itu, himpunan eigevalues ​​adalah $\{1,4^{2018},8^{2018},\}$.

---

Harap verifikasi apakah ini solusi yang benar, dan jika tidak, bantu saya menemukan solusi yang benar.

Answer 1

Matirx Anda adalah jumlah dari matriks yang relatif mudah (simetris) dan nilpoten, dan perjalanan ini. $N$ adalah nol kecuali untuk pasangan $4$ dalam posisi $(1,3)$ dan $(2,3).$ Sebut yang simetris $S$yang dapat didiagonalisasi dengan baik. karena mereka bepergian,$$ (S + N)^{2018} = S^{2018} + 2018 S^{2017} N. $$ Itu berhenti di situ sejak itu $N^2 = 0.$

Saya hanya menebak ini, semua yang dibutuhkan adalah eksplisit $P^{-1} S P = D.$ Itu tidak terlalu penting $P$menjadi ortogonal. Sebenarnya, yang saya lakukan adalah

$$ P^T S P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & -\frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) $$

dimana $PP^T = P^TP = I$

$ P^T S P = D $ maka $S = PDP^T.$ Jadi $S^{n} = P D^n P^T$ untuk semua $n \geq 1$

itu $S+N$disebut dekomposisi Jordan Chevalley, terkadang jauh lebih mudah daripada bentuk kanonis Jordan. Kali ini tidak jauh berbeda

Answer 2

Petunjuk: Polinomial karakteristik adalah $c_A(x)=(x-4)((x-1)^2-9)=(x-4)^2(x+2)$.

Anda dapat memeriksa bahwa bentuk normal Jordan adalah $B=\begin{pmatrix} 4&1&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$.

Kemudian $A^n$ mirip dengan $B^n$.

Tapi $B^n=\begin{pmatrix}4^n&4+2\cdot4^n&0\\0&4^n&0\\0&0&(-2)^n\end{pmatrix}$.

Makanya kita dapatkan $\{4^n,(-2)^n\}$ sebagai nilai eigen.