Nilai integral asimtotik

Question

Untuk integral like $$D_{n}(x) \equiv \int_{0}^{x} \frac{t^{n}}{e^{t}-1} d t$$ Nilai asimtotik diberikan sebagai

$$D_{n}(x) \simeq\left\{\begin{array}{ll} n ! \zeta(n+1)-x^{n} e^{-x}+O\left(x^{n} e^{-2 x}\right), & x \rightarrow \infty \\ x^{n} / n-x^{n+1} / 2(n+1)+O\left(x^{n+2}\right), & x \rightarrow 0 \end{array}\right.$$

Apakah ada cara untuk mendapatkan ekspresi ini di Mathematica?

Answer 1

Pergantian u=Exp[-t] respectively t=-Log[u]memberikan istilah yang pertama dari ekspansi asimtotik x->Infinitydari Dn[x]:

Integrate[(-Log[u])^n/(u-1),{u,0,1}]-Integrate[(-Log[u])^n/(u-1),{u,0,Exp[-x]}]

Integral pertama mengevaluasi ke

Integrate[(-Log[u])^n/(u-1),{u,0,1}]
(*-n Gamma[n] PolyLog[1 + n, 1]*)

integral kedua (mudah-mudahan) teratur O[Exp[-x]]

Answer 2

Sebagai permulaan:

Integrate[x^n/(-1 + E^x), {x, -\[Infinity], \[Infinity]}, 
 Assumptions -> n \[Element] Integers && n > -1 && x \[Element] Reals]

(* Integrasikan [x ^ n / (- 1 + E ^ x), {x, - [Infinity], [Infinity]}, Asumsi -> n [Elemen] Bilangan bulat && n> -1 && x [Elemen] Real] *)

Untuk solusi 𝑥 → ∞:

IntSer[x_, n_] := 
 Integrate[Series[t^n /(Exp[t] - 1), {t, Infinity, 2}], {t, 0, x}]
Table[{n, IntSer[x, n], n! Zeta[n + 1] - x E^-x}, {n, 1, 
   2}] // TableForm

Ini menunjukkan dua aspek dari solusi: (1) Mathematica tidak berkembang seperti sumber Anda. (2) Kondisi tersebut tampaknya memiliki validitas yang lebih tinggi.

Metode Mathematica untuk tidak melakukan ekspansi asimtotik ini hanya integral dengan cara ini.

Hasil ini dapat dikembangkan lebih lanjut menjadi asimtotik yang Anda sukai. Masukkan kembali ini dengan Normal:

Table[{n, Normal@IntSer[x, n], (n + 1)! Zeta[n + 1] - x E^-x}, {n, 1, 
   2}] // TableForm

Fungsi yang dibebaskan dari kondisi tersebut dapat diperluas di Mathematica:

Series[\[Pi]^2/6 + x Log[1 - Cosh[x] + Sinh[x]] - 
  PolyLog[2, E^-x], {x, \[Infinity], 3}]

(*

*)

Series[x^2 Log[1 - Cosh[x] + Sinh[x]] - 2 x PolyLog[2, E^-x] - 
  2 PolyLog[3, E^-x] + 2 Zeta[3], {x, \[Infinity], 3}]

Untuk solusi x-> 0:

IntSer0[x_, n_] := 
 Integrate[Series[t^n /(Exp[t] - 1), {t, 0, 3}], {t, 0, x}]
Table[{n, Normal@IntSer0[x, n], x^n/n - x^(n + 1)/(2 (n + 1))}, {n, 1,
    2}] // TableForm

Dalam pemuaian 𝑥 → 0, solusi ini diperluas kira-kira dan menegaskan rumus untuk n = 1 dan 2. O dapat dipastikan berkembang menjadi n = 2 dan kemudian menghilangkan suku orde dua.

Ini mengkonfirmasi 𝐷𝑛 (𝑥) ≃. Saya harap Mathematica benar dan saya menemukan kesalahan ketik dalam rumus Anda.

Langkah induksi simbolis untuk keduanya:

Integrate[t^n*SeriesData[t, 0, {1, -1/2, 1/12, 0, -1/720}, -1, 4, 1], {t, 0, x}]

Integrate[t^n (
SeriesData[t, 0, {1, 
Rational[-1, 2], 
Rational[1, 12], 0, 
Rational[-1, 720]}, -1, 4, 1]), {t, 0, x}, 
 Assumptions -> n \[Element] Integers && n > -1 && x \[Element] Reals]

Masalahnya berasal dari istilah t ^ (n-1) menurut informasi yang diberikan Integrate.

Mathematica tidak melakukan ini untuk sembarang n di V12.0.0. Karena rumus 𝐷𝑛 (𝑥) berlaku untuk semua n dan aproksimasi dapat diintegrasikan untuk n untuk memberikan n + 1 hingga konstanta, langkah induksi dilakukan.

Peluang untuk menggunakan substitusi logaritma gagal dengan cara yang sama seperti integrasi langsung:

u[t_] := Exp[-t]
D[u[t], t]

( -Exp [-t] )

du / dt = -Exp [-t] => du = -udt => -du / u = dt

atau

t[u_] := -Log[u]
D[t[u], u]

(* -1 / u *)

dt / du = -1 / u => dt = -du / u

Integrate[(-Log[u])^n/(u (u - 1)), {u, 1, Exp[x]}]

Tapi

Solve[1/(u (u - 1)) == B/u + 1/(u - 1), B]

(* {B -> - 1} *)

dt = -du/ ujadi pergantiannya harus (-Log[u])^ n/(u (u - 1))!! Ini berasal dari t[u_] := -Log[u], D[t[u], u] is - 1/u! Dekomposisi pecahan parsial adalah 1 / (u (u - 1)) == -1 / u + 1 / (u - 1) !!!

Integrate[-(-Log[u])^n/u, {u, 1, Exp[x]}]

ConditionalExpression[-(((-x)^n x)/(1 + n)), 
 Re[x] <= 0 && Im[x] == 0 && Re[n] > -1]

Integrate[-(-Log[u])^n/(u - 1), {u, 1, Exp[x]}]

Ini lagi-lagi terbuka untuk ekspansi asimtotik 𝐷𝑛 (𝑥).

Answer 3

AsymptoticIntegrateharus menjadi fungsi pertama untuk dicoba, tetapi sepertinya itu agak berjuang untuk nilai-nilai umum n. Ini berfungsi, namun, jika Anda memberinya waktu:

AsymptoticIntegrate[
 t^2/(Exp[t] - 1),
 {t, 0, x},
 {x, ∞, 2}
]