Nilai Singular Terbesar dari Matriks Segitiga

Question

Membiarkan $R\in\mathbb{R}^{d\times d}$ menjadi matriks segitiga atas.

Nilai eigen dari $R$ adalah entri diagonalnya, yaitu, $(R_{ii}, e_i)$ adalah pasangan eigen dari $R$ sejak $Re_i=R_{ii}e_i$.

Apakah mungkin untuk mengikat nilai singular terbesar $\sigma_\max (R)=\sqrt{\lambda_\max (RR^T)}$ dengan entri diagonal $R$?

---

Ketidaksetaraan Weyl memberi tahu kita$\lambda_\max \le \sigma_\max$arah yang salah. Tapi mungkin kita bisa mendapatkan sesuatu seperti itu$\sigma_\max < \lambda_\max^2$ asumsi $\lambda_\max>1$? Atau dapatkah nilai singular terbesar menjadi lebih besar secara sewenang-wenang?

Answer 1

Apakah mungkin untuk mengikat nilai singular terbesar $\sigma_\max (R)=\sqrt{\lambda_\max (RR^T)}$ dengan entri diagonal $R$?
Jika Anda melihat pada norma Frobenius yang tidak terbatas, jawabannya tentu saja tidak.

dengan vektor basis standar $\mathbf e_k$, pertimbangkan
$R' := R +\alpha \mathbf e_1\mathbf e_d^T$
$R$ dan $R'$ memiliki entri diagonal yang sama dan karenanya akan memiliki batas atas tetap yang diklaim sama $M$. Padahal dengan memilih yang cukup besar$\alpha$ kita punya
$M\lt \frac{1}{d}\big \Vert R'\big\Vert_F \leq \sigma_1$