nomor bracketing vs nomor penutup
Hanya ingin memeriksa ulang apakah lemma di halaman 9 slide ini benar: http://www.math.leidenuniv.nl/~avdvaart/talks/09hilversum.pdf
Kata pengantar singkat: $N(\epsilon,\cal F,||\cdot||)\leq N_{[]}(2\epsilon,\cal F,||\cdot||). $
Bukti: Jika $f$ ada di $2\epsilon$-mengurung $[l,u]$, maka itu berada di dalam bola jari-jari $\epsilon$ sekitar $(l+u)/2$.
Saya pikir apa artinya bukti itu, jika satu set $2\epsilon$-kurung penutup $\cal F$, maka himpunan ini juga merupakan himpunan bola jari-jari $\epsilon$ yang bisa menutupi $\cal F$. Karena mungkin ada set bola jari-jari lainnya$\epsilon$ yang bisa menutupi $\cal F$, nomor penutup tidak lebih besar dari nomor tanda kurung.
Saya belum menemukan kesimpulan yang sama dalam buku teks mana pun yang saya temukan sejauh ini (tidak yakin apakah karena kesimpulan ini terlalu sepele), jadi saya tidak cukup yakin untuk mengatakan apakah itu benar atau salah. Saya akan sangat menghargai jika ada yang bisa mencerahkan saya !!
Jawaban
Elaborasi Anda pada dasarnya benar, kecuali tanda kurung itu sendiri tidak $\|\cdot\|$-balls.
Jika $[l,u]$ adalah $2\epsilon$-bracket, maka itu ada di dalam $\|\cdot\|$-ball radius $\epsilon$ berpusat pada $(l+u)/2$, sejak $l \le f \le u$ menyiratkan $$\|f - (l+u)/2\| \le \frac{1}{2} \|f-l\| + \frac{1}{2} \|f - u\| \le \|u-l\| = \epsilon.$$
Demikianlah sampulnya $2\epsilon$-braket bisa diganti dengan cover yang lebih besar $\epsilon$-$\|\cdot\|$-balls dengan kardinalitas yang sama.