Norma operator dalam citra konstruksi GNS

Question

Dalam konstruksi GNS, kami memiliki file $C^*$-aljabar $A$ dan negara bagian $\phi$. Kemudian kita bisa membuat representasi$\Pi: A\rightarrow B(H_\phi)$ untuk beberapa ruang GNS Hilbert $H_\phi$.

Saya ingin tahu apakah ada hasil umum yang berguna mengenai hubungan antara norma di $A$ dan itu masuk $\Pi(A)$. Saya tahu jika$\Pi$bersifat injeksi, isometrik. Secara umum,$\Pi$ hanya kontraktif, yaitu $\|\Pi(A)\|\leq \|A\|$. Kesetaraan selalu dicapai oleh elemen kesatuan. Yang juga jelas adalah batas bawah$\|\Pi(A)\|^2\geq \phi(A^*A)$.

Saya tertarik pada hasil apa pun terkait pertanyaan ini: hasil untuk kelas elemen tertentu atau kelas aljabar tertentu. Jika tidak ada, apakah hal-hal hanya berperilaku acak di antara dua batasan yang jelas? Adakah elemen yang mencapai batas bawah (selain identitas)?

Answer 1

Jika $\phi$ setia, kalau begitu $\pi$isometrik. Jika tidak, sangat sedikit yang bisa Anda katakan.

Representasinya $\pi$mungkin gagal mempertahankan norma untuk "sebagian besar" elemen. Misalnya biarkan$A=C[0,1]$, dan $\phi(f)=f(0)$. Kemudian$H_\phi=\mathbb C$, dan $\pi(f)\lambda=f(0)\lambda$, $\|\pi(f)\|=|f(0)|$. Jadi disini$\pi$ akan menurunkan norma untuk apa pun $f$ yang tidak mencapai normanya di $0$. Dan batas bawah Anda selalu tercapai.

Secara umum, sedikit yang bisa dikatakan, karena keadaan tidak setia gagal "melihat" bagian dari aljabar.