normalitas asimtotik untuk MLE

Aug 18 2020

Misalkan dengan asumsi yang sesuai, $$[I(\theta_0)]^{1/2}(\hat{\theta} - \theta) \xrightarrow{d} N(0, I_p),$$ dimana $\hat{\theta}$ adalah penaksir kemungkinan maksimum $\theta$. $I(\theta_0) = I(\theta)|_{\theta=\theta_0}$ dan $I(\theta)$ adalah informasi nelayan dari distribusi sampel.

Catatan kelasku berbunyi "$I(\theta_0)$ bisa diganti dengan $I(\hat{\theta}_0)$, dibenarkan oleh teorema Slutsky ".

Pertanyaan saya adalah mengapa teorema Slutsky membenarkannya $$[I(\hat{\theta})]^{1/2}(\hat{\theta} - \theta) \xrightarrow{d} N(0, I_p)$$ benar?

Atau apakah kita harus berasumsi seperti itu $\hat{\theta}$ menyatu dengan $\theta$ dalam kemungkinan?

Jawaban

1 Sergio Aug 18 2020 at 22:51

Dengan teorema Slutsky , jika$X_n\overset{d}{\to}X$ dan $Y_n\overset{p}{\to}c$, dimana $c$ adalah suku konstan $X_nY_n\overset{d}{\to}X c$. Jadi jika

  • $[I_n(\theta)]^{1/2}(\hat{\theta}_n - \theta) \xrightarrow{d} N(0, I_p)$ sebagai $n\to\infty$,
  • $[I_n(\hat\theta_n)]^{1/2}/[I_n(\theta)]^{1/2}\overset{p}{\to}1$ sebagai $n\to\infty$,

dimana $\theta$ adalah parameter yang tidak diketahui, $n$ adalah ukuran sampel, dan $\hat\theta_n$ adalah urutan penduga ML, lalu $$\frac{[I_n(\hat\theta_n)]^{1/2}}{[I_n(\theta)]^{1/2}}[I_n(\theta)]^{1/2}(\hat{\theta}_n - \theta) =[I_n(\hat\theta_n)]^{1/2}(\hat{\theta}_n - \theta)\overset{d}{\to} N(0,I_p)$$

Artinya, kapan $n$ cukup besar, distribusi pengambilan sampel MLE mendekati normal.

1 Pohoua Aug 18 2020 at 15:55

Anda dapat menunjukkannya jika $[I(θ_0)]^{1/2}(\hat{θ}−θ_0)\overset{d}{\longrightarrow} N(0, I_p)$, kemudian $\hat{\theta}\overset{P}{\longrightarrow} \theta_0$, jadi Anda tidak membutuhkan asumsi ini.