Operator $A\ \text{bounded from below}\iff A^*\ \text{surjective}$

Question

Membiarkan $H$ jadilah ruang Hilbert, $A\in H'$ operator terikat dan $A^*$ adjoinnya. $A$ disebut berbatas dari bawah jika ada $b>0$, seperti yang $b ||h||\le ||Ah||, \forall h\in H$. Lalu bagaimana seseorang bisa menetapkan itu$$A\ \text{bounded from below}\iff A^*\ \text{surjective}$$ Petunjuk yang diberikan adalah dengan menggunakan teorema jarak tertutup itu $Ran(A)$ ditutup jikaf $Ran(A^*)$ditutup. Tapi saya tidak yakin bagaimana menghubungkan closedness dan surjectivity. Bantuan apa pun akan dihargai.

Answer 1

Saya pikir Anda dapat melakukan hal berikut: Sejak $A$ dibatasi di bawah dan $H$ selesai, Anda sudah memilikinya $Ran(A)$ditutup. Artinya itu$Ran(A)$ adalah ruang Hilbert.

Sekali lagi dengan dibatasi di bawah, itu mengikuti $A_0\colon H\to Ran(A)$, pembatasan $A$ke dalam jangkauannya, adalah isomorfisme linier (bicontinious juga). Oleh karena itu, Anda memilikinya$A_0^* \colon Ran(A)' \to H'$ juga merupakan isomorfisme linier $Ran(A)' = Ran(A)$ ke $H'=H$.

Dan saya pikir Anda bisa membuktikannya $A_0^*$ itu hanya $A^*$ dibatasi untuk $Ran(A)$. Karena itu,$A^*$, mungkin tidak lagi suntik, tapi pasti surjective.

Untuk sebaliknya, saya pikir Anda bisa melakukan hal serupa. Jika$A^*$ bersifat dugaan lalu definisikan $H_0\doteq \ker (A^*)^\perp $, yang merupakan ruang Hilbert, dan $A^*_0\colon H_0\to H$, yang merupakan isomorfisme linier sejak $A^*$ bersifat dugaan.

Kemudian $(A_0^*)^*\colon H'\to H_0'$adalah isomorfisma linier (bikontinen seperti biasa), oleh karena itu ia dibatasi di bawah. Sekali lagi, sejak$H$ dan $H_0$ adalah ruang Hilbert, maka itu $H'=H$ dan $H_0' = H_0\subset H$.

Dan saya pikir Anda bisa membuktikannya $(A^*_0)^*$ bertepatan dengan $A^{**} = A$. Dan Anda sudah selesai.