Orbit $\mathbb{Z}$ tindakan $\mathbb{S}^1$

Question

Membiarkan $\mathbb{Z}$ bertindak $\mathbb{S}^1$ dengan aksinya $\phi (n)(z)=e^{i \alpha n}z$ ditentukan untuk $\alpha\in\mathbb{R}$ dan $z\in\mathbb{S}^1$.

Pertama kita dengan mudah melihatnya $\phi$ stabil $\mathbb{S}^1$.

Apa orbit dari aksi ini? Bisakah kita menjelaskan semuanya? Apakah mereka terkait dengan$O(2)$ kelompok?

Saya sudah melakukan beberapa kasus khusus untuk hal mana pun $P$ di $\mathbb{S}^1$:

• Untuk $\alpha=0$, $\phi(n)(z)=Id_{\mathbb{S}^1}$
• Untuk $\beta\in\mathbb{Z}^*$ seperti yang $2\pi/\alpha=\beta$ kita punya $\lvert\mathbb{Z}(P)\rvert=\beta$
• Untuk $p/q\in\mathbb{Q}^*$ seperti yang $2\pi / \alpha=p/q$ kita punya $\lvert\mathbb{Z}(P)\rvert=p$
• Saya berpikir untuk $2\pi / \alpha$ sebagai irasional, orbitnya mungkin $\mathbb{S}^1$ tapi tidak bisa membuktikannya.

Answer 1

Ada dua kasus. Jika$\frac{\alpha}{2\pi} = \frac{p}{q}$ rasional dan dalam istilah terendah maka setiap orbit memiliki ukuran $q$(seperti yang Anda katakan). Sebaliknya, jika$\frac{\alpha}{2\pi}$ tidak rasional maka setiap orbit memiliki penstabil sepele begitu juga salinannya $\mathbb{Z}$. (Orbit tidak bisa semuanya$S^1$karena itu harus bisa dihitung. Apa yang benar dalam kasus irasional adalah bahwa tidak ada orbit yang ditutup, dan semua penutupannya adalah semua$S^1$.)