Orbit $SO(3)$

Question

Penafian: pertanyaan ini memiliki beberapa suntingan; yang satu ini menangani kasus ini$k=\mathbb{R}$, sementara saya akan memposting satu sama lain untuk kasus kompleks.

Pertimbangkan tindakan $SO(3)$ di $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, dengan koordinat homogen $x_0,x_1,x_2$, dari bentuk $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ Saya ingin memahami apa yang dimaksud dengan orbit dari tindakan ini, dan memahami jika tindakan itu transitif, artinya $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ yaitu, sejak $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$, Saya ingin belajar $$SO(3)/SO(3)_p.$$ Untuk melakukannya saya mempertimbangkan kesederhanaan poitn $p=(1:0:0)$, dan saya telah menemukannya $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $SEBUAH$ is equal to $p$}\}.$$ Untuk menyimpulkan, saya harus menunjukkan hal itu $y\in \mathbb{P}^2$, ada matriks $B\in SO(3)$ seperti yang $Bp=y$, yaitu kolom pertama $B$ adalah sama dengan $y$. Sayangnya sekarang saya macet, karena saya tidak tahu cara membuat matriks hanya dari kolom$y$.

Answer 1

Anda membutuhkan matriks $B$ seperti yang $Bp$ sebanding dengan $y$ (berfikir tentang $y$ sebagai vektor di $\Bbb R^3$). Jadi langkah pertama adalah mengganti$y$ dengan $y/\|y\|$, sehingga menjadi vektor satuan. Maka Anda membutuhkan matriks rotasi yang kolom pertamanya adalah$y$. Dua kolom lainnya harus ortogonal$y$, dan mereka harus berorientasi positif. Jadi inilah konstruksinya:

Biarkan entri terkecil $y$, dalam nilai absolut, jadilah $i$th. Membiarkan$w = e_i$. Menghitung$$ v = w - w \cdot y $$ yang ortogonal $y$ (mengapa tidak bisa nol? Itu latihan untuk Anda), dan kemudian biarkan $$ u = v / \| v \| $$ yang merupakan vektor satuan ortogonal $y$. Lalu biarkan$B$ menjadi matriks dengan kolom $y, u, $ dan $y \times u$.

Tetapi perhatikan bahwa ini berfungsi untuk setiap poin $y$, bukan hanya yang ada di kurva Anda $C$, jadi saya tidak begitu mengerti bagaimana ini mengatasi masalah Anda. Saya mungkin salah paham tentang sesuatu.