Pemain dan tiket
Anda termasuk di antara N pemain yang akan memainkan sebuah kompetisi. Lotre digunakan untuk menentukan penempatan setiap pemain. Anda memiliki keuntungan. Di topi dipasang dua tiket atas nama anda, sedangkan untuk masing-masing pemain lain hanya satu tiket bertuliskan namanya. Topinya terguncang dengan baik dan tiket ditarik satu per satu dari topi. Urutan nama yang muncul menentukan penempatan setiap pemain. Berapa probabilitas Anda akan mendapatkan$n$penempatan th untuk $n = 1, 2, . . . , N$?
Kemungkinan nama saya ditarik $k$upaya ini $\frac{2}{N}(\frac{N-2}{N})^{k-1}$ (yaitu untuk mengatakan $k-1$ kegagalan sebelum sukses pertama di $k$). Saya tahu bahwa solusinya adalah$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2}{2+N-n}\frac{N-k}{2+N-k}$.
Membiarkan $A_i$ menjadi acara di mana nama saya compairs muncul $i$upaya th. Begitu:
$\mathbb{P}(A_1)=\frac{2}{N+1}$;
$\mathbb{P}(A_2)=\mathbb{P}(\bar{A_1})\mathbb{P}(A_2|\bar{A_1})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{2}{N})$
$\mathbb{P}(A_3)=\mathbb{P}(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})\mathbb{P}(A_3|\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{N-2}{N})(\frac{2}{N-1})$.
Jadi saya berpikir begitu
$\mathbb{P}(A_n)=(\frac{N-1}{N+1})\cdot (\frac{N-2}{N})\cdot ... \cdot (\frac{N-n-1}{N+1-n})\cdot (\frac{2}{N-n})$
tetapi saya tidak dapat mengarahkan saya ke produk di atas. Dimana saya salah?
Jawaban
Saya mendapatkan (hampir) hasil yang sama dengan Anda, dengan asumsi "Setelah nama ditarik dan ditempatkan, tiket mendatang apa pun dengan nama itu akan diabaikan":
$(\color{green}{\text{green part edited}})$ $$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{N-1}{N+1}\right)\cdot \left(\frac{N-2}{N}\right)\cdot ... \cdot \color{red}{\left(\frac{N-n+1}{N+3-n}\right)}\cdot \left(\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\right),$$
Ada $n-1$ istilah berurusan dengan yang pertama $n-1$undian yang gagal dan yang terakhir dengan undian yang berhasil. Penyebut berkurang 1 di setiap faktor karena jumlah tiket yang diundi berkurang 1 setelah setiap undian. Untuk yang pertama$n-1$ suku (undian yang tidak berhasil) pencacah berkurang 1 juga, jadi selisih antara penyebut dan pencacah akan selalu $2$ dalam istilah tersebut (mewakili 2 tiket Anda).
Hasil itu bisa ditulis sebagai
$$\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{N-k}{N+2-k}.$$
"Solusi yang diketahui" Anda adalah memberikan produk kosong untuk $n=1$, jadi itu berarti probabilitas 1, yang jelas-jelas tidak benar. Jadi, periksa apakah Anda menyalinnya dengan benar.
Solusi Anda sangat disederhanakan. Untuk beberapa alasan, \ batal tidak berfungsi, jadi saya mencoba menunjukkan apa yang saya maksud dengan menunjukkan istilah yang membatalkan dengan warna yang sama. Sayangnya, saya hanya dapat menunjukkan beberapa istilah pertama dengan cara ini.
$$\frac{\color{red}{N-1}}{N+1}\frac{\color{blue}{N-2}}{N} \frac{\color{green}{N-3}}{\color{red}{N-1}} \frac{\color{orange}{N-4}}{\color{blue}{N-2}}\dots $$
Inilah cara yang lebih baik untuk melakukannya.
Membiarkan $1\leq n\leq N$diberikan.
Membiarkan$A$ menjadi acara di mana nama Anda ada di $n$tiket th. Membiarkan$B$ jadilah acara yang Anda sebutkan tidak ada di tiket mana pun $1,2,\dots,n-1$. Kami mencari$\Pr(A\cap B)$.
$$\Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B|A) = \boxed{\frac2{N+1}\frac{N+1-n}{N}}$$
Istilah pertama sudah jelas. Untuk yang kedua, ada$N$ tempat di mana tiket lain dengan nama Anda berada, dan $N+1-n$ dari mereka datang setelah $n$tiket th.
Jika Anda melakukan penyederhanaan yang dijelaskan di atas, Anda akan sampai pada jawaban sederhana ini.
Mungkin saya tidak memahami bagaimana eksperimen probabilitas ini dilakukan, tetapi saya mendapatkan jawaban yang berbeda dari orang lain. Mungkin seseorang dapat menunjukkan mengapa alasan saya tidak tepat, jika ada?
Mari kita asumsikan setelah nama pemain dipilih, tiket masa depan dengan nama itu diabaikan.
Jumlah cara pengundian tiket sehingga nama Anda muncul di $n^{th}$ slotnya ${2 \choose 1} \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)!$
Jumlah cara penarikan tiket secara total adalah ${2 \choose 1}\cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N!$
Membagi keduanya memberikan kemungkinan yang didambakan $$\frac{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)! }{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N! }=\frac{1}{N}$$
Untuk melihat ini, kita dapat melihat contoh spesifik. Misalkan Anda adalah orang # 1 yang bermain lotre dengan$N-1=2$ orang lain dan $ \{1,1^*\} $ mewakili dua tiket kontribusi Anda dari $N+1=4$tiket di topi. Kami akan menunjukkan koleksi semua tiket di topi dengan$\{1,1^*,2,3\}$. Kita bisa mendaftar semuanya${2 \choose 1}\cdot {{3-1} \choose {3-1}} \cdot 3!=12$ kemungkinan urutan nama secara eksplisit: $$\{1,2,3\}, \{ 1,3,2\}, \{ 2,1,3\}, \{ 3,1,2\}, \{2,3,1 \},\{3,2,1 \}$$ $$\{1^*,2,3\}, \{ 1^*,3,2\}, \{ 2,1^*,3\}, \{ 3,1^*,2\}, \{2,3,1^* \},\{3,2,1^*\}$$ Probabilitas bahwa Anda ditugaskan ke $n^{th}$ penempatannya $ \frac{1}{N}=\frac{1}{3}$ untuk $n=1,2,3$ yang sangat masuk akal bagi saya.