Pendekatan Bhaskara dari cos (x)

Question

Dalam pengetahuan saya, perkiraan terbaik dari $\sin$ dan $\cos$ adalah perkiraan Bhaskara yaitu: $$\sin(x) \simeq \frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}\qquad (0\leq x\leq\pi)$$ dan $$\cos(x) \simeq\frac{\pi ^2-4x^2}{\pi ^2+x^2}\qquad (-\frac \pi 2 \leq x\leq\frac \pi 2)$$

apa perkiraan terbaik $\cos(x)$ untuk $ -\pi\leq x\leq 0$ (dengan fungsi biasa)?

Answer 1

Dalam hal aproksimasi, Anda dapat melakukan banyak hal tergantung pada berapa banyak istilah yang ingin Anda sertakan dalam ekspresi tersebut. Seringkali, ini dilakukan dengan menggunakan pendekatan Padé.

Misalnya, untuk pertanyaan Anda, menggunakan sederhana $[3,2]$ Padé kira-kira dibangun di sekitar $x=-\frac \pi 2$, kita mendapatkan $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{7}{60} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 } {1+\frac{1}{20}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 }$$ yang mengarah ke kesalahan mutlak $0.0042$ di batas.

Yang pasti, Anda bisa melangkah lebih jauh dan menggunakan $[5,4]$ Hampir padé $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{53}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{551 }{166320}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+\frac{13}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{5 }{11088}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ yang mengarah ke kesalahan mutlak $3.0\times 10^{-6}$di batas. Ini setara dengan seri Taylor untuk$O\left(\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^{11}\right)$.

Untuk memberi Anda gambaran tentang kemungkinan perbaikan; pertimbangkan itu$P_n$ adalah $[2n+1,2n]$ Padé kira-kira $\cos(x)$ dibangun di sekitar $x=-\frac{\pi }{2}$ dan menghitung norma $$\Phi_n=\int_{-\pi}^0 \big[\cos(x)-P_n\big]^2\,dx$$

$$\left( \begin{array}{cc} n & \Phi_n \\ 1 & 3.92 \times 10^{-6} \\ 2 & 1.26 \times 10^{-12}\\ 3 & 2.23 \times 10^{-20} \end{array} \right)$$

Semua ini telah dilakukan hanya berdasarkan informasi (fungsi dan nilai turunan) di $x=-\frac{\pi}{2}$.

Tetapi kami dapat mencoba untuk mencakup keseluruhan rentang dan mempertimbangkan misalnya $$\cos(x) \sim \left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1+a \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+b\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+c \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+d\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ dan dapatkan

$$a=\frac{-1952+672 \pi -192 \pi ^2+56 \pi ^3}{\pi ^3(\pi ^2-10)}$$ $$b=\frac{-3456+1056 \pi +768 \pi ^2-240 \pi ^3 } {\pi ^5 \left(\pi ^2-10\right) }$$ $$c=\frac{-192+72 \pi -104 \pi ^2+32 \pi ^3 } {\pi ^2 \left(\pi ^2-10\right) } $$ $$d=\frac{-4704+1504 \pi +400 \pi ^2-128 \pi ^3} {\pi ^4 \left(\pi ^2-10\right) }$$ yang memberikan kesalahan absolut maksimum sama dengan $5.96\times 10^{-8}$ dan norma yang setara $2.73\times 10^{-15}$ (yang mana $461$ kali lebih kecil dari $\Phi_2$).

Anda dapat melihat bahwa koefisiennya sangat dekat dengan koefisien $P_2$ tetapi perubahan kecil ini membuat banyak perbedaan.

Semua perkiraan ini telah dibuat untuk menjawab pertanyaan Anda.

Answer 2

Tidak ada yang namanya perkiraan "terbaik" untuk suatu fungsi, selalu ada perubahan kecil yang dapat Anda lakukan untuk menghasilkan perkiraan yang lebih baik.

Namun, untuk pertanyaan Anda, Anda dapat memijat perkiraan yang Anda berikan dengan memperhatikan itu $$-\pi\leq x\leq 0 \iff -\frac \pi2\leq x+\frac \pi2\leq \frac \pi2$$

Answer 3

Perkiraan untuk $\sin(x)$ di $[-\pi/2, \pi/2]$ yang paling cocok dengan jiwa Bhaskara adalah yang terbaik

$$\frac{22 \pi^2 x - 24 x^3}{\pi (7 \pi^2 + 4 x^2)}.$$

Itu tepat untuk $\lvert x \rvert \in\{0, \pi/6, \pi/2\}$dan turunannya nol di titik akhir. Geser ke kiri$\pi/2$ untuk mendapatkan perkiraan $\cos(x)$ di $[-\pi, 0]$.

Ini adalah perkiraan yang lebih baik dalam hal kesalahan absolut maksimum daripada Padé dengan derajat yang sama. (Algoritma Remez dapat menemukan yang lebih baik. Lihat bagian 6 eksposisi ini .) Penskalaan ke interval$[-1,1]$ memberikan perkiraan yang tampak lebih bagus $$\frac{11 x - 3 x^3}{7 + x^2} \approx \sin \left(\tfrac{\pi}2 x\right).$$