Periode dasar $x[kn]$

Question

Membiarkan $x[n]$ menjadi periodik dengan periode fundamental $N$ dan $y[n] = x[kn]$ dimana $k \in \mathbb{N}$ dan $k\ge2$. Adalah$y[n]$berkala? Apa periode fundamentalnya$y[n]$?

Inilah jawaban saya:

Jika $N = mk$ dimana $m \in \mathbb{N}$ kemudian $y[n+m] = x[k(n + \frac{N}{k})] = x[kn+N] = x[kn] = y[n]$. Jadi dalam hal ini periode fundamentalnya adalah$\frac{N}{k}$. Jika tidak, sederhanakan$\frac{N}{k}$ seperti yang $\frac{N}{k} = \frac{m}{n}$ dimana $\gcd(m , n) = 1$. Periode fundamentalnya adalah$m$ sejak $y[n+m] = x[k(n+\frac{nN}{k}) ] = x[kn + nN] = x[kn] = y[n]$.

Saya tidak tahu apakah solusi saya benar dan cukup teliti. Misalnya bagaimana kita bisa membuktikan tidak ada periode yang lebih kecil?

Answer 1

Anda benar. Berikut ini adalah apa yang telah Anda tunjukkan.

Membiarkan $x[n]$ menjadi urutan periodik dengan periode N: $$ x[n] ~=~ x[n + rN] ~~~~~,~~~\forall r,N \in Z^+ $$

Menetapkan $y[n] = x[M n]$, dimana $M$adalah bilangan bulat positif; kemudian

$$ y[n] = x[Mn] = x[Mn + rN] = x[M(n + \frac{rN}{M})] = y[n+K] $$

$y[n]$ akan dilakukan secara berkala dengan $K$, jika $\frac{r ~N}{M}$adalah bilangan bulat. Oleh karena itu, atur$r$ untuk setiap nilai yang membuat $\frac{rN}{M}$ sebuah bilangan bulat.

Jika $N,M$ sudah coprime, lalu pengaturan $r=M$ membuat $K=N$ sebagai periode $y[n]$. Jika mereka belum coprime, maka buatlah mereka coprime$M_c,N_c$, lalu setel $r=M_c$ untuk membuat $K = N_c$ sebagai periode $y[n]$.

Membuat $N,M$ coprime dengan membaginya dengan pembagi persekutuan terbesarnya $g = \text{gcd}(N,M)$ :

$$ N_c = N / g ~~~,~~~~ M_c = M / g $$

Kemudian, untuk kasus umum, periode $y[n]$ adalah:

$$ \boxed{ K = \frac{N}{ \text{gcd}(N,M) } } $$