permutasi set
Saya punya pertanyaan tentang permutasi set dan itu adalah:
Masalah: biarkan ruang sampel$X$ menjadi himpunan permutasi $\{1,2,3,4,5\}$, permutasi tersebut $\{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\}$ mewakili alokasi objek untuk $i,j\in \{1,2,3,4,5\}$ kita punya $n_i=j$ jika orang $i$ menerima objek itu oleh orangnya $j$. Selanjutnya$i\in \{1,2,3,4,5\}$. Jika kita mendefinisikan acara:
$$A_i=\{(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)\in X\space |\space n_i=i\}$$
Kebingungan saya: Saya tidak mengerti bagaimana mencantumkan elemen-elemen ini di bawah set karakteristik elemen yang ditentukan set ini misalnya, di ruang sampel$X$, bisa $n_1=1, n_2=2,n_3=3,n_4=4, n_5=5?$
Jika tidak, maka nilainya $n_1$, $n_2$, ... bisa ambil adalah $n_1=2,3,4,5; n_2=1,3,4,5; ...$ dll. Jadi salah satu elemen yang mungkin dari ruang sampel adalah $(2,3,4,5,1)\in X?$.
Tapi di lokasi syuting $A_i,$ sekarang ada kondisi baru yaitu $n_i=i$, itu artinya set $A_1=\{(1,1,1,1,1)\}?$. Saya sedikit bingung tentang definisi$n_i=i$ di set $A_i,$ dan berapa banyak elemen $A_1, A_2,...,A_5$mengandung. Adakah yang bisa membantu saya menjelaskan atau menemukan elemen himpunan$A_i$, atau hanya contoh untuk$ A_1$ dan $A_2?$ Saya akan sangat menghargainya.
Jawaban
Menggunakan definisi permutasi sebagai fungsi bijective dari satu set ke dirinya sendiri ( daripada definisi terkait string karakter yang masing-masing karakter digunakan sekali, dll ... ) kita memilikinya$A_1$ adalah himpunan permutasi dari $\{1,2,3,4,5\}$ seperti yang $1$ dipetakan ke $1$.
Sama halnya, menggunakan definisi permutasi sebagai string karakter, $A_1$ adalah himpunan permutasi dari $\{1,2,3,4,5\}$ seperti yang $1$ berada di posisi pertama.
Ini termasuk tetapi tidak terbatas pada $12345, 13524, 15243,\dots$ dan tidak termasuk hal-hal seperti $23451$ atau $54321$ sejak $1$ tidak berada di posisi pertama dan selanjutnya tidak mencantumkan hal-hal seperti itu $11111$ atau $67890$ karena ini bukan permutasi dari $\{1,2,3,4,5\}$( yang pertama gagal menjadi permutasi karena setiap karakter hanya boleh digunakan tepat sekali dan yang kedua gagal karena karakter yang digunakan bukan dari himpunan dasar yang benar. sama halnya, yang pertama bukan bijective dan yang kedua memiliki codomain yang salah ).
Penting untuk membicarakan hal-hal seperti itu $A_1\cap A_2$yang merupakan permutasi yang secara bersamaan memiliki suku pertama dan kedua sebagai titik tetap ... berisi hal-hal seperti$12345, 12543, 12453,\dots$, posisi pertama harus a $1$ dan posisi kedua harus a $2$.
Itu juga layak untuk dilihat $A_1^c$, himpunan permutasi seperti itu $1$adalah tidak titik tetap.
Akhirnya, yang paling penting adalah himpunan $A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c\cap A_5^c$, set permutasi aktif $\{1,2,3,4,5\}$sedemikian rupa sehingga tidak ada elemen yang merupakan titik tetap. Kami menyebut permutasi tanpa titik tetap sebagai gangguan .
Adapun menghitung ini, untuk $|A_1|, |A_1\cap A_2|\dots$mendekati langsung dengan aturan produk seperti biasa. Untuk posisi yang nilainya tidak dipaksa, pilih elemen apa yang muncul di posisi itu dan catat berapa banyak opsi yang telah Anda berikan sebelumnya pilihan tersebut. Anda punya itu$|A_1|=4!$ bahwa $|A_1\cap A_2|=3!$ dan seterusnya.
Pengamatan ini ditambah dengan inklusi-pengecualian kemudian bahkan akan memungkinkan Anda menghitung jumlah gangguan, sesuatu yang saya serahkan kepada Anda untuk diselesaikan sendiri atau untuk dibaca di artikel terkait. Saya agak curiga bahwa menghitung jumlah gangguan bahkan mungkin menjadi bagian selanjutnya dari pertanyaan saat ini yang sedang Anda kerjakan atau pertanyaan yang akan ditanyakan segera setelah menyelesaikan pertanyaan ini karena sangat erat kaitannya.
Tidak, perhatikan itu $i$didefinisikan di luar karakterisasi himpunan. Yang berarti bahwa$i$ditetapkan untuk setiap set. Begitu$$A_1=\{\color{red}{1},2,3,4,5),(\color{red}{1},2,3,5,4),(\color{red}{1},2,4,3,5),\cdots\}.$$
Juga, perhatikan bahwa tupel harus masuk $X,$ dan $(1,1,1,1,1)$bukanlah permutasi.
Tidak jelas apakah dengan permutasi yang Anda maksud bahwa Anda harus menggunakan setiap elemen di$\{1,2,3,4,5\}.$ Jika demikian, Anda akan mendapatkannya $(5-1)!$ sebagai jumlah elemen dalam $A_1$ karena Anda memperbaiki yang pertama lalu Anda memilikinya $4$ pilihan untuk yang kedua, lalu $3$pilihan ...
Jika Anda mengizinkan pengulangan, maka Anda akan memilikinya$5$ pilihan di masing-masing sisanya $4$ posisi, jadi Anda akan mendapatkan $5^4$ elemen di $A_1.$