Perpecahan Toroidal Heegaard

Question

Misalkan saya memiliki pemisahan Heegaard dari manifold-3 berorientasi tertutup yang tidak dapat direduksi $M$, ditentukan oleh diagram Heegaard $(\Sigma_{g},\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{g}\},\{\beta_{1},\dots,\beta_{g}\})$. Apakah ada kondisi yang cukup jelas atau perlu untuk kurva pemasangan saat$M$ itu toroidal (atau atoroidal)?

Semua jenis petunjuk akan membantu.

Answer 1

Dalam " manifold-3 yang dilihat dari kompleks kurva ", salah satu teorema utama adalah kriteria yang diperlukan untuk menjadi toroidal. Secara khusus, ia menunjukkan bahwa jika manifold-3 adalah toroidal maka semua sambungan Heegaard-nya,$\Sigma$, punya $d(\Sigma) \leq 2$, dimana $d$adalah jarak Hempel. Oleh karena itu, mengikuti konstruksi pada kertas yang sama untuk pemisahan Heegaard jarak tinggi memberi Anda banyak koleksi manifold atoroid untuk dikerjakan.

Pergi ke arah lain, berikut adalah cara untuk mendapatkan tori dalam manifold 3 yang diberikan oleh pemisahan Heegaard (memeriksa apakah tori ini penting kurang jelas bagi saya). Seandainya$c_1$ dan $c_2$ adalah kurva $\Sigma$ yang mengikat anulus di setang ditentukan oleh Anda $\alpha$ kurva, serta annulus di setang ditentukan oleh Anda $\beta$kurva. Merekatkan annuli ini bersama-sama memberikan torus di manifold-3 Anda, memotong permukaan Heegaard ke dalam$c_1$ dan $c_2$.

Dalam prakteknya, cara untuk membangun seperti itu $c_i$ adalah mulai dengan $c_1$ dan "geser" ke file $\alpha$kurva sehingga geser ini menyapu anulus yang diinginkan. Anda juga dapat menggeneralisasi konstruksi ini untuk koleksi$c_1 ... c_n$ dimana $c_1$ dan $c_2$ mengikat sebuah annulus di $\alpha $ setang, $c_2$ dan $c_3$ mengikat sebuah annulus di $\beta$ setang dll.

Answer 2

Saya telah menemukan makalah 'The disjoint curve property and genus 2 manifold' oleh Abigail Thompson, di mana dia membuktikan bahwa jika Heegaard membelah untuk manifold 3 $M$ TIDAK memiliki properti kurva terputus-putus, maka $M$ adalah atoroid.

Membiarkan $M_{1}\cup_{\Sigma}M_{2}$ menjadi pemisahan Heegaard $M$. Kemudian pemisahan Heegaard memiliki properti kurva terputus-putus jika ada kurva tertutup sederhana yang penting$c, a$ dan $b$ di $\Sigma$ dimana $c$ terputus dari $a$ dan $b$ di $\Sigma$, dan $a$ membatasi masuknya disk $M_{1}$, dan $b$ membatasi masuknya disk $M_{2}$.