Persatuan bola cembung

Question

Diberikan $X \subset \mathbb{R}^n$ dan $\varepsilon > 0$, Biarkan $B(X;\varepsilon)$ menjadi persatuan $B(x;\varepsilon)$ (bola dengan bagian tengah $x \in X$ dan radius $\varepsilon$).

Tunjukkan bahwa jika X cembung, maka $B(X;\varepsilon)$ adalah cembung.

Saya melihat bahwa jika dua elemen $x,y$ berada di dalam bola yang sama, maka saya memiliki segmen garis yang menghubungkan $x$ dan $y$ semua di dalam bola itu, karena semua bola di dalam $\mathbb{R}^n$ cembung.

Tapi saya tidak tahu bagaimana melanjutkan jika mereka tidak berada di dalam bola yang sama.

Ada tips?

Answer 1

Membiarkan $x,y\in B(X,\epsilon)$. Menurut definisi, ada$x_0,y_0\in X$ seperti yang $||x-x_0||<\epsilon$ dan $||y-y_0||<\epsilon$. Sekarang biarkan$t\in (0,1)$. Kami harus menunjukkan itu intinya$(1-t)x+ty$ masuk $B(X,\epsilon)$demikian juga. Sekarang, sejak$X$ adalah cembung, kita tahu itu $(1-t)x_0+ty_0\in X$. Juga:

$||((1-t)x+ty)-((1-t)x_0+ty_0)||=||(1-t)(x-x_0)+t(y-y_0)||\leq $

$\leq(1-t)||x-x_0||+t||y-y_0||<(1-t)\epsilon+t\epsilon=\epsilon$

Begitu $(1-t)x+ty\in B((1-t)x_0+ty_0,\epsilon)\subseteq B(X,\epsilon)$.

Answer 2

Sebenarnya milik Anda $B(X,\varepsilon)$adalah tambahan Minkowski $X \oplus B(0,\varepsilon)$ dari set cembung $X$ dan $B(0,\varepsilon)$ (bola di tengah $0$ dengan radius $\varepsilon$).

Dalam konteks ini, jawabannya langsung: ada teorema klasik (diberikan dalam referensi Wikipedia) yang mengatakan bahwa penambahan Minkowski dari 2 himpunan cembung itu sendiri cembung.