Pertanyaan Judi
Latihan 4.21: Dalam permainan Anda menang \ $ 10 dengan probabilitas $ \ frac {1} {20} $ dan kalah \ $ 1 dengan probabilitas$\frac{19}{20}$. Perkirakan kemungkinan Anda kalah kurang dari \ $ 100 setelah 200 game pertama. Bagaimana kemungkinan ini berubah setelah 300 pertandingan?
Percobaan :
Pertama, kami menunjukkan kemenangan dan kekalahan bersama dalam satu variabel. Tentukan \ mulai {persamaan *} W_n = 10S_n - (n - S_n) \ end {persamaan *} di mana $ W_n $ menunjukkan kemenangan setelah $ n $ game dan $ S_n $ menentukan jumlah kemenangan dalam $ n $ game. Jadi, \ begin {persamaan *} P (W_n \ geq 100) = P (11S_n - n> -100) = P \ biggr (S_n> \ frac {n - 100} {11} \ biggr). \ end {persamaan *} Sekarang, kita menerapkan Teorema Batas Pusat dalam kedua kasus, dengan nilai $ n $ yang berbeda .
Misalkan $ n = 200 $ , lalu $ S_n \ sim Bin (200, \ frac {1} {20}) $ . Karena itu kami mengharapkan $ S_n> \ frac {100} {11} $ . Selain itu, $ E [S_n] = 200 \ cdot \ frac {1} {20} = 10 $ dan Var $ (S_n) = 200 \ cdot \ frac {1} {20} \ cdot \ frac {19} {20} = \ frac {19} {2}. $ Jadi, dari CLT mengikuti koreksi kontinuitas yang \ begin {persamaan *} P \ biggr (\ frac {\ frac {100} {11} - 10} {\ sqrt { \ frac {19} {2}}} <\ frac {S_n - 10} {\ sqrt {\ frac {19} {2}}} \ biggr) \ kira-kira 1 - \ Phi (-0.457169) \ kira-kira 0,6772. \ end {persamaan *}
Nah, buku tersebut memberikan jawaban berbeda untuk kasus pertama dari 200 game, yaitu 0,5636. Saya ingin memahami kesalahan saya sebelum melanjutkan ke kasus berikutnya
Secara intuitif ini juga masuk akal karena kondisi $ S_n> \ frac {100} {11} $ harus berada di dekat bagian atas kurva lonceng dari distribusi normal, karena nilai 10 yang diharapkan mendekati $ \ frac {100} {11} $ . Namun, seumur hidup saya, saya tidak bisa melihat kesalahan dalam perhitungan saya.
(Pertanyaan Pertukaran Tumpukan Matematika lainnya untuk pertanyaan ini tidak menjelaskan apa-apa pada dasarnya bagi saya, karenanya posting ini.)
Kehilangan kurang dari $ 100 dalam permainan untung-untungan.
Jawaban
Jika $X$ adalah jumlah acak kemenangan $n$ game, lalu $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 200, p = 0.05)$$ dan variabel acak untung / rugi bersih adalah $$W = 10X - (n-X) = 11X - n.$$ Jadi $$\Pr[W > -100] = \Pr[11X - 200 > -100] = \Pr[X \ge 10].$$ Ekspresi terakhir ini disebabkan oleh fakta itu $X$tidak bisa mengambil nilai pecahan. Karena itu,$$\Pr[X \ge 10] = 1 - \sum_{x=0}^{9} \binom{200}{x} (0.05)^x (0.95)^{200-x} \approx 0.54529\ldots.$$ Ini adalah probabilitas yang tepat: satu-satunya perkiraan di sini adalah dalam pembulatan pecahan menjadi desimal.
Ini juga memberikan wawasan penting mengapa jawaban Anda salah: hanya karena Anda menggunakan perkiraan normal dengan koreksi kontinuitas tidak berarti hasil untuk $W$ yang ingin Anda sertakan dalam probabilitas yang diinginkan dapat berada di luar ruang sampel $W$.
Misalnya, jika $U \sim \operatorname{Binomial}(n = 500, p = 0.5)$, dan saya meminta Anda $\Pr[U < 225.999]$, Anda harus menulis terlebih dahulu $\Pr[U < 225.999] = \Pr[U \le 225]$, lalu Anda menerapkan koreksi kontinuitas untuk memperkirakannya sebagai$$\Pr\left[Z \le \frac{225.5 - 250}{5 \sqrt{5}}\right].$$Hal yang sama berlaku di sini; jadi$$\Pr[W > -100] = \Pr[X \ge 10] \approx \Pr\left[\frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \ge \frac{9.5 - 10}{\sqrt{9.5}}\right] \approx \Pr[Z \ge -0.162221] \approx 0.564434.$$ Terbukti, teks Anda dibulatkan sebelum menyelesaikan penghitungan, atau menggunakan pencarian tabel normal standar tanpa interpolasi, karena $\Pr[Z \ge -0.16] \approx 0.563559$. Dalam kasus apapun, perkiraannya$$\Pr[Z \ge -0.457169] \approx 0.676225$$ menyimpang terlalu banyak.