Peta antar objek colimit

Question

Membiarkan $\lbrace A_i \rbrace_{i\in I}$ dan $\lbrace B_j \rbrace_{j\in J}$ menjadi dua diagram dalam suatu kategori $\mathcal{C}$. Membiarkan$A=\text{colim}_{i\in I} A_i$ dan $B= \text{colim}_{j\in J} B_j$. Diberikan dua peta$f,g: A\rightarrow B$, dengan asumsi bahwa coequaliser tersebut $C$ ada, bisa $C$ disajikan dalam bentuk kolom dari diagram yang terdiri dari objek $A_i$ dan $B_j$?

Answer 1

Itu adalah dugaan yang menggoda tapi salah! Biarkan semua$A_i$ dan $B_i$ menjadi salinan $\mathbb{Z}$ dalam kategori $\text{Ab}$kelompok abelian dan biarkan kedua kolom menjadi produk bersama. Kemudian setiap grup abelian muncul sebagai coequalizer dari sepasang peta antara koproduk tersebut (ini mengatakan dengan tepat bahwa setiap grup abelian memiliki presentasi) tetapi tidak setiap grup abelian muncul sebagai kumpulan salinan dari$\mathbb{Z}$. Saya menanyakan pertanyaan ini dengan tepat di MathOverflow beberapa waktu yang lalu dan mendapat jawaban negatif yang sangat informatif.

Answer 2

Biarkan saya mengubah notasi. Membiarkan$X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ dan $Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ menjadi functors, biarkan $\mathcal{D}$ menjadi subkategori lengkap dari $\mathcal{C}$ direntang oleh gambar $X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ dan $Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$, dan biarkan $\bar{X} = \varinjlim_\mathcal{I} h_X$ dan $\bar{Y} = \varinjlim_\mathcal{J} h_Y$ di $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, yang kami definisikan $h_T (S) = \mathcal{C} (S, T)$. Kemudian,$$\textstyle [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}](\bar{X}, \bar{Y}) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y)$$ jadi morfisme $f : \bar{X} \to \bar{Y}$ dapat diuraikan menjadi keluarga morfisme $X (i) \to Y (j_i)$ diindeks oleh $i \in \operatorname{ob} \mathcal{I}$, modulo relasi ekivalen tertentu. Di sisi lain, sekalipun$X$ dan $Y$ memiliki kolom di $\mathcal{C}$, paling banter kami hanya bisa mengatakan $$\textstyle \mathcal{C} \left( \varinjlim_\mathcal{I} X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$ dan meskipun ada peta perbandingan kanonik $$\textstyle \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y) \to \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$ ini umumnya bukan bijeksi.

Jika - ini besar jika - pasangan paralel$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ di $\mathcal{C}$ Anda tertarik dapat diangkat melalui peta perbandingan ini, kemudian coequaliser mereka adalah kolom yang dibangun dari diagram $X$ dan $Y$.

Memang, biarkan $f_0, f_1 : \bar{X} \to \bar{Y}$ menjadi morfisme dalam $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Kemudian kita dapat membentuk coequalisernya$\bar{Z}$ di $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Ada diagram kanonik$R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ yang jumlahnya masuk $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ aku s $\bar{Z}$. Secara eksplisit,$\textbf{El} (\bar{Z})$ adalah kategori berikut:

• Objek di $\textbf{El} (\bar{Z})$ adalah pasangan $(D, z)$ dimana $D$ adalah objek di $\mathcal{D}$ dan $z$ adalah elemen dari $\bar{Z} (C)$.
• Morfisme $(D, z) \to (D', z')$ di $\mathcal{K}$ adalah morfisme $g : D \to D'$ di $\mathcal{D}$ seperti yang $z' \cdot g = z$.
• Komposisi diwarisi dari $\mathcal{D}$.

Ada proyeksi yang jelas $R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ dan itu mudah untuk diperiksa $\bar{Z} \cong \varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} h_R$. Saya mengklaim:$\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$ adalah coequaliser dari $\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ di $\mathcal{C}$, dalam arti yang kuat $\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$ ada di $\mathcal{C}$ jika dan hanya jika coequaliser ada di $\mathcal{C}$ dan mereka isomorfik.

Membiarkan $\bar{\mathcal{D}}$ menjadi subkategori lengkap dari $\mathcal{C}$ direntang oleh objek $C$ di $\mathcal{C}$ sedemikian rupa, untuk setiap objek $T$ di $\mathcal{C}$, peta kanonik (disebabkan oleh pembatasan penyematan Yoneda) $$\mathcal{C} (C, T) \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] (h_C, h_T)$$adalah kebijaksanaan. Lemma Yoneda biasa memberi tahu kita$\mathcal{D} \subseteq \bar{\mathcal{D}}$, tetapi, untuk diagram apa pun $Z : \mathcal{K} \to \bar{\mathcal{D}}$, $$\textstyle \varprojlim_\mathcal{K} \mathcal{C} \left( Z, T \right) \cong \varprojlim_\mathcal{K} [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( h_Z, h_T \right) \cong [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( \varinjlim_\mathcal{K} h_Z, h_T \right)$$ secara alami $T$, jadi jika $\varinjlim_\mathcal{K} Z$ ada di $\mathcal{C}$ maka itu juga masuk $\bar{\mathcal{D}}$ - pendeknya, $\bar{\mathcal{D}}$ ditutup di bawah kolom yang ada di $\mathcal{C}$. Secara khusus,$\varinjlim_\mathcal{I} X$ dan $\varinjlim_\mathcal{J} Y$ berada dalam $\bar{\mathcal{D}}$, dan jika pasangan sejajar $\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ di $\mathcal{C}$ memiliki coequaliser daripada coequaliser juga $\bar{\mathcal{D}}$. Pada dasarnya, definisi$\bar{\mathcal{D}}$memastikan bahwa apa pun yang dapat dibuktikan tentang iterasi colimits di$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ juga benar dalam $\mathcal{C}$, selama semua biaya yang terlibat dapat direalisasikan $\bar{\mathcal{D}}$. Jadi, jika berpasangan sejajar$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ di $\mathcal{C}$ dapat diangkat menjadi pasangan paralel $\bar{X} \rightrightarrows \bar{Y}$ di $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, lalu coequaliser in $\mathcal{C}$ dapat diidentifikasi dengan kolom masuk $\mathcal{C}$ dari diagram di $\mathcal{D}$.

Mungkin perlu dicatat bahwa representasi Yoneda $\bar{\mathcal{D}} \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ mungkin tidak sepenuhnya setia atau tidak melestarikan kolimit ... tapi ini hanya mengulang peringatan di paragraf pertama.