Probabilitas / Kombinatorik

Question

Pertanyaannya adalah:

Sebuah guci berisi 6 hitam dan sebuah nomor tak dikenal ($\le6$) dari bola putih. Tiga bola ditarik satu per satu tanpa penggantian dan semuanya berwarna putih. Berapa probabilitas bola yang ditarik berikutnya berwarna hitam?

Saya mengusulkan solusi berikut: Kami menghitung probabilitas bahwa ada r bola putih di dalam guci menggunakan Teorema Bayes. Jadi ini akan menjadi:$$ f(r) = \frac{\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}}}{\sum_{r=3}^6\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}} }$$di mana f (r) menunjukkan probabilitas bahwa bola putihnya adalah r. Sekarang, jika mereka r bola putih, probabilitas bahwa hasil imbang berikutnya akan menjadi hitam yaitu$g(r) = \frac{6}{6 + (r-3)} = \frac{6}{3+r}$, karena 3 bola putih sudah diambil. Sekarang untuk mendapatkan probabilitas total bahwa bola berikutnya yang ditarik berwarna hitam dapat diberikan dengan:$$ \sum_{r=3}^6 f(r)\cdot g(r)$$

Apakah pendekatan ini benar? Jawaban yang diperoleh (saya menghitung menggunakan skrip python) cocok dalam nilai desimal dengan salah satu opsi ($\frac{677}{909})$yang sama dengan 0,744. Jika benar, saya ingin tahu apakah ada cara yang lebih elegan / kurang kalkulatif untuk mendekati pertanyaan ini. Terima kasih!

Answer 1

Jawaban Anda tentang ${\large{\frac{677}{909}}}$ benar, dengan asumsi sebagai distribusi sebelumnya itu $r$ sama mungkinnya $0,1,2,3,4,5,6$.

Jadi, jika kita asumsikan, sebelum menggambar $3$ bola, itu untuk masing-masing $r\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$, probabilitas yang terkandung dalam guci $r$ bola putih adalah ${\large{\frac{1}{7}}}$, lalu untuk $r\in\{3,4,5,6\}$, fungsinya $$ f(r)=\frac { {\displaystyle{\frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}}}} } { \;\; {\displaystyle{ \sum_{r=3}^6 \frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}} }} \;\; } $$adalah probabilitas bersyarat yang awalnya berisi guci$r$ bola putih, mengingat yang pertama $3$ bola yang ditarik berwarna putih.

Analisis Anda lainnya benar.