Properti Injective-Continuous-function pada Compact-set.

Question

Jika $A \subset\mathbb{R}^n$ dimana A kompak dan $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ terus menerus.

Jika f injeksi maka poinnya masuk $A$ di mana $f$ mencapai maxima global dan minima adalah titik batas $A$. Apakah pernyataan itu benar? Motif pertanyaan ini berasal dari sini .

Answer 1

Jelas pernyataan Anda benar jika $n=1$ dan $A$adalah interval yang kompak. Fungsi injeksi terus menerus$A$ dapat meningkat atau menurun, dan maksimum dan minimum global berada di salah satu titik akhir interval.

Menganggap $f$ mengambil maksimum globalnya pada $x_0\in A$ dan itu $x_0$ adalah titik interior dari $A$. Kemudian pertimbangkan segmen garis $$\mathbf{r}(t)=x_0+te_1$$ dimana $e_1=(1, 0, 0,...,0)$. Cukup kecil$t$, kita punya $\mathbf{r}(t)\in A$ begitu fungsinya $g(t)=f(\mathbf{r}(t))$ didefinisikan dengan baik dalam interval kompak kecil $[-\delta,\delta]$ mengandung $t=0$. Sejak itu suntik$f$ bersifat suntik, dan kontinu juga.

Menurut argumen kami kapan $n=1$ itu mengikuti itu $g$ mengambil maksimum di batas $[-\delta,\delta]$ bertentangan dengan fakta itu $g(0)=f(\mathbf{r}(0))=f(x_0)$ adalah maksimum global $f$.

Argumennya identik untuk minimum global dengan membalikkan tanda $f$.