Properti Normalizer dari subkelompok tertentu

Question

Saya mencoba membuktikan yang berikut:

Membiarkan $G$ kelompok terbatas, $H$ sebuah subkelompok $G$ seperti yang $|H|$ dan $|G/H|$memiliki gcd = 1. Buktikan itu$K=N_G(K)$ untuk setiap subkelompok $K$ dari $G$ seperti yang $N_G(H)\subseteq K$.

Upaya saya

Saya berpikir untuk menggunakan proposisi berikut:

Proposisi Let$P$ menjadi a $p$-sylow subkelompok dari grup terbatas $G$. Kemudian$H=N_G(H)$, untuk setiap subkelompok $H$ dari $G$ seperti yang $N_G(P)\subseteq H$.

Bukti . Tentu saja$P\subseteq N_G(P)\subseteq H$, jadi $P$ adalah $p$-subkelompok silinder dari $H$. Sekarang$H\subseteq N_G(H)$selalu benar. Untuk kebalikannya, biarkan$x\in N_G(H)$. Sekarang$xPx^{-1}\subseteq xHx^{-1}=H$, jadi $xPx^{-1}=P^x$ lagi a $p$-subkelompok silinder dari $H$. Tapi setiap$p$subgrup -sylow adalah konjugasi, jadi ada $g\in H$ seperti yang $P=P^{xg}$. Tapi, ini artinya$xg\in N_G(P)\subseteq H$. Begitu$$ x=xgg^{-1}\in H. $$ Ini membuktikannya $N_G(H)\subseteq H$. QED

Tentu saja, saya rasa $H\ne\{1\}$ dan $H\ne G$, dalam kedua kasus klaim itu sepele.

Sekarang, karena $|H|$ dan $|G/H|$ memiliki gcd = 1, ada bilangan prima $p$ seperti yang $p$ membagi $|H|$ dan tidak $|G/H|$. Tapi ini artinya$H$ berisi $p$-subkelompok silinder dari $G$. Sekarang, saya berpikir untuk menggunakan proposisi, tetapi untuk melakukan itu saya perlu$N_G(P)$ untuk ditampung $K$ (untuk setiap $K$ mengandung $N_G(H)$), dan saya tidak dapat melihat cara untuk membuktikannya. Jadi, ini adalah jalan yang benar dan saya kehilangan sedikit detail untuk membuktikannya$N_G(P)\subseteq K$, atau saya harus mempertimbangkan pendekatan yang sama sekali berbeda.

Setiap bantuan dihargai.

Answer 1

Seperti yang saya katakan dalam komentar saya, ini berlaku untuk kelompok yang dapat dipecahkan terbatas oleh generalisasi Teorema Sylow P. Hall. Sini$H$ adalah Aula $\pi$-subkelompok dari $G$, dan dalam kelompok solvable semua Hall $\pi$-subkelompok adalah konjugasi, jadi argumen yang sama berfungsi seperti dalam proposisi tentang subkelompok Sylow.

Untuk kelompok non-solvable, hal ini tidak benar secara umum. Tidak sulit untuk menemukan contoh grup yang memiliki dua Aula non konjugasi$\pi$-subkelompok. Sebagai contoh,${\rm PSL}(2,7)$ memiliki dua kelas konjugasi dari subkelompok isomorfik ke $S_4$ yang memiliki indeks $7$.

Saya mencoba mengambil $G$ untuk menjadi produk karangan bunga ${\rm PSL}(2,7)$ dengan kelompok urutan siklik $5$. Lalu ada subkelompok$H \cong S_4^5$ dengan $N_G(H) \le K$, dimana $K$adalah kelompok dasar dari produk karangan bunga. Begitu$|H| = 24^5$ dengan $|G:H| = 5.7^5$, jadi $H$ adalah Aula $\{2,3\}$-subkelompok dari $G$, tapi $N_G(K) = G \ne K$.