rekursi di akar polinomial
membiarkan $P(x)$ adalah polinomial yang memenuhi properti $\psi$ dimana properti $\psi$ diberikan oleh
kapan pun r adalah root dari $P(x) = 0$ kemudian $r^2 - 4$ juga merupakan akar dari persamaan yang diberikan.
i) jika $P(x)$ adalah polinomial kuadrat dari bentuk $x^2 + ax + b$ kemudian temukan semua kemungkinan persamaan yang memuaskan $\psi$ dan memiliki akar nyata yang berbeda.
ii) jika $P(x)$ adalah polinomial kubik bentuk $x^3 + ax^2+bx+c$ kemudian temukan semua persamaan kubik yang tidak memiliki akar yang sama dengan persamaan yang dihitung di bagian (i)
Upaya saya untuk bagian (i)
membiarkan $r$ adalah akar dari $P(x)$ kemudian $r^2 - 4$ juga harus menjadi akar persamaan
dan sebagai $r^2 -4$ adalah root $(r^2-4)^2-4$ jadi setidaknya dua dari mereka harus sama jika tidak $P(x)$ akan menjadi polinomial nol yang merupakan kontradiksi
antara $$ r = r^2 - 4 \ or \ r = r = (r^2-4)^2-4 $$ karena persamaan ketiga mengarah ke akar kompleks dan sekali lagi yang pertama salah karena akar harus dibedakan $r$ memuaskan $(r^2-4)^2-4 = r$ tetapi saya tidak dapat menyelesaikan lebih jauh dan juga tidak yakin bahwa apa yang telah saya lakukan benar Saya hanya perlu ide untuk menyelesaikan bagian kubik
dengan kalkulator saya menemukan empat nilai r untuk bagian pertama tetapi dalam soal itu disebutkan bahwa hanya ada 2 polinomial
Jawaban
(i) Biarkan $a,b$ menjadi seperti itu $P(x)=x^2+ax+b$memiliki properti yang diberikan. Membiarkan$x_1,x_2$ menjadi akar dari $P(x)$.
Jika $x_1^2-4=x_2^2-4$, maka kami memiliki berturut-turut $x_1^2=x_2^2$, $ax_1+b=ax_2+b$, $a(x_1-x_2)=0$, $a=0$. Begitu$x_1,x_2$ adalah $\pm\sqrt {-b}$, dan kami membutuhkannya $-b-4=x_1^2-4=\pm\sqrt b$. Begitu$\sqrt b$ adalah akar persamaan $-T^2-4=\pm T$ di $T$. Ada empat solusi dalam bilangan kompleks, tidak ada yang nyata. Tapi saya kira kita sedang mengerjakannya$\Bbb R$. Jadi kasus ini tidak mengarah pada solusi.
Jika $x_1^2-4\ne x_2^2-4$, kasus yang tersisa, maka kedua nilai ini $x_1,x_2$dalam urutan ini atau yang lainnya. Jadi kami memiliki salah satu kasus:$$ \begin{aligned} x_1 &= x_1^2-4\ ,\\ x_2 &= x_2^2-4\ , \end{aligned} \qquad\text{ or } \begin{aligned} x_1 &= x_2^2-4\ ,\\ x_2 &= x_1^2-4\ . \end{aligned} $$ Dalam kasus pertama kita mendapatkan akar berbeda nyata, mereka adalah akar persamaan $$ X^2-X-4=0\ , $$ dan kami segera menghitungnya, $\frac 12(1\pm\sqrt{17})$. Dalam kasus kedua, kami memasukkan persamaan kedua ke persamaan pertama, jadi$x_1$ (seperti juga $x_2$ dengan simetri) adalah solusi dari $$ X=(X^2-4)^2-4\ . $$(Persamaan ini juga muncul di OP ...) Tetapi kami memiliki informasi tambahan, bahwa juga akar dari sistem pertama (jelas) memenuhi persamaan ini. Jadi kami mengharapkan polinomial$(X^2-X-4)$ membagi $(X^2-4)^2-X-4=X^2-8X^2-X+12$. Ini kasusnya, dan hasil bagi adalah$(X^2+X-3)$. Jadi kami memiliki dua nilai lainnya,$\frac 12(-1\pm\sqrt{13})$.
Nah, kita tidak membutuhkan akar (karena kedua fase yang cukup / perlu jelas), dua polinomial yang dibutuhkan adalah $(X^2-X-4)$ dan $(X^2+X-3)$.
(ii) sama sekali tidak jelas, mungkin rumit, mungkin (ketiganya) bersamaan, dll.
Saya akan memecahkan kasus eksplisit ketika akar $x_1,x_2,x_3$nyata dan berbeda. Membiarkan$g(x)$ menjadi $g(x)=x^2-4$. apa yang$g(x_1)$. Tidak mungkin$x_1$, kalau tidak kita memiliki root dari (i). Demikian pula untuk dua lainnya. Begitu$g$menembus akar tanpa titik tetap. Hanya ada dua permutasi seperti itu. Kami mungkin bertukar$x_2,x_3$, sehingga dalam hal ini (ii), kita harus menyelesaikan: $$ \tag{$*$} \left\{ \begin{aligned} x_1 &= g(x_2) = x_2^2-4\ ,\\ x_2 &= g(x_3) = x_3^2-4\ ,\\ x_3 &= g(x_1) = x_1^2-4\ . \end{aligned} \right. $$ Kami menyambungkan yang kedua, lalu hubungan ketiga di yang pertama, menghilangkan $x_2,x_3$ dan dapatkan persamaan di $x_1$. Begitu$x_1,x_2,x_3$ adalah akar dari $X=g(g(g(X)))$. Memperluas, kita mendapatkan persamaan:$$ x^8 - 16x^6 + 88x^4 - 192x^2 - x + 140 =0\ . $$ Dengan argumen yang sama dari (i), kita mengharapkan faktornya $(x^2-x-4)$, tetapi polinomial derajatnya tetap $6$tidak memiliki faktorisasi manusia yang cepat. Nah, menggunakan CAS (sistem aljabar komputer) seperti sage , ini adalah tugas yang mudah:
sage: var('x');
sage: g(x) = x^2 - 4
sage: expand( g(g(g(x))) - x )
x^8 - 16*x^6 + 88*x^4 - 192*x^2 - x + 140
sage: factor( g(g(g(x))) - x )
(x^3 + 2*x^2 - 3*x - 5)*(x^3 - x^2 - 6*x + 7)*(x^2 - x - 4)
Di sini kami masih harus bekerja sedikit, karena jika $x_1$ adalah misalnya akar dari faktor pertama $(x^3 + 2x^2 - 3x - 5)$, ada pertanyaan tentang $x_2=g(x_1)=x_1^2-4$, apakah ini merupakan akar dari faktor yang sama? Jawabannya ya, karena juga menggunakan CAS (sage disini):
sage: factor( g(x)^3 + 2*g(x)^2 - 3*g(x) - 5 )
(x^3 + 2*x^2 - 3*x - 5)*(x^3 - 2*x^2 - 3*x + 5)
begitu $g(x_1)$ adalah akar dari satu atau faktor lainnya $(x^3 \pm 2x^2 - 3x \mp 5)$, tetapi faktor "buruk" dikecualikan, karena $x_1$ juga merupakan akar dari polinomial $g(g(g(x)))-x$ atas.
Tetapi sebagai manusia, masih ada cara yang baik untuk melanjutkan, jika ini terjadi dalam ujian dengan semua bantuan komputer dikecualikan. (Pengecualian ini masih terjadi di abad ini, itu untuk perlindungan dan keuntungan para siswa, yang lain akan mulai bermain catur dan pergi selama ujian yang membosankan di mesin-mesin mereka yang kuat, sambil juga menikmati album resolusi tinggi dari liburan yang lalu bersama keluarga. . Maaf ...)
Untuk melihat caranya, mari kita mulai dengan sistem $(*)$atas. Membiarkan$s,q,p$ menjadi tiga ekspresi simetris dasar derajat $1,2,3$ (Vieta) untuk $x_1,x_2,x_3$, jadi $s$ adalah jumlah mereka, $p$ produk mereka, dan $q=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$. Kemudian kita mendapatkan beberapa persamaan aljabar dengan relatif cepat$s,q,p$: $$ \begin{aligned} s^2 &= x_1^2+x_2^2+x_3^2+2q=(x_1+4)+(x_2+4)+(x_3+4)+2q \\ &=s+2q+12\ , \\[2mm] q^2 &= x_1^2x_2^2 + x_1^2x_2^2 + x_1^2x_2^2 + 2ps\\ &=(x_1+4)(x_2+4) + (x_2+4)(x_3+4) + (x_3+4)(x_1+4) + 2ps\\ &=q+8s+48+2ps\ ,\\[2mm] p^2 &=x_1^2x_2^2x_3^2=(x_1+4)(x_2+4)(x_3+4)\\ &=p+4q+16s+64\ ,\\[2mm] 1 &= (x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1) \\ &=x_1^2(x_2 +x_3) + x_2^2(x_3 +x_1) + x_3^2(x_1 +x_2) + 2x_1x_2x_3\\ &=\underbrace{x_1^2(x_2 +x_3) + x_2^2(x_3 +x_1) + x_3^2(x_1 +x_2) + 3x_1x_2x_3} _{(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)} - x_1x_2x_3\\ &=sq-p\ . \end{aligned} $$ Persamaan terakhir diperoleh mulai dari $(x_1-x_2)=(x_2^2-x_3^2)=(x_2-x_3)(x_2+x_3)$, membangun dua sepupu lainnya diperoleh dengan bersepeda indeks, mengambil produk, dan menyederhanakan, karena akarnya berbeda.
Persamaan terakhir, $p = sq-1$, bisa digunakan untuk menghilangkan $p$dalam persamaan lainnya. Kemudian dua persamaan pertama menjadi$$ q = \frac 12(s^2-s-12)\ ,\ 0=25q+6s+48+2qs+3q^2\ . $$ Kami mengganti $q$dari persamaan pertama dalam persamaan kedua. Persamaan dalam$s$ adalah $$ 3s^4-2s^3-23s^2-2s+24=0\ . $$ Solusinya adalah $1,3,-2,-4/3$.
Yang sesuai $q$ nilai masing-masing $-6,-3,-3,-40/9$.
Yang sesuai $p=sq-1$ nilai masing-masing $-7,-10,5,133/27$.
Tetapi hanya dua dari mereka yang memenuhi persamaan $p^2=p+4q+16s+64$. Dua solusi untuk$(s,q,p)$ demikian:
$$(1,-6,-7)\text{ and }(-2,-3,5)\ .$$ Polinomial yang sesuai adalah: $$ x^3-x^2-6x+7\text{ and }x^3+2x^2-3x-5\ . $$ $\square$
Bagian i):
Membiarkan $r, s$ menjadi dua akar dari $P$.
Dengan asumsi, $r^2 - 4$ dan $s^2 - 4$ semua milik set $\{r, s\}$. Jadi ada beberapa kemungkinan:
$r^2 - 4 = r$, $s^2 - 4 = s$.
Pada kasus ini, $r$ dan $s$ adalah dua akar dari $x^2 - x - 4$, dan kita mempunyai $P(x) = x^2 - x - 4$.
$r^2 - 4 = r$, $s^2 - 4 = r$.
Pada kasus ini, $r$ adalah salah satu dari dua akar $x^2 - x - 4$, yang mana $\frac {1 \pm \sqrt{17}}2$, dan sejak $s^2 = 4 + r = r^2$, kita punya $s = - r$.
Karena itu $P(x) = (x - r)(x + r) = x^2 - r^2 = x^2 - \frac{9 \pm \sqrt{17}}2$.
$r^2 - 4 = s$, $s^2 - 4 = r$.
Dalam hal ini, kami punya $(r^2 - 4)^2 - 4 = r$, pemberian yang mana $(r^2 - r - 4)(r^2 + r - 3) = 0$.
Sejak $r\neq s$, kita punya $r^2 - r - 4 \neq 0$, jadi $r$ adalah akar dari polinomial $x^2 + x - 3$.
Argumen yang sama menunjukkan hal itu $s$ juga merupakan akar dari $x^2 + x - 3$. Karena itu$P(x) = x^2 + x - 3$.
Bagian II):
Kami sekarang memiliki tiga akar $r, s, t$(yang apriori belum tentu bilangan real).
Nomor $r^2 - 4$ tidak bisa sama dengan $r$, jadi ini adalah salah satu $s$ dan $t$, Katakanlah $s$.
Dan $s^2 - 4$ tidak bisa sama dengan keduanya $s$ maupun $r$ (jika tidak $s$ memuaskan $(s^2 - 4)^2 - 4 = s$ dan bertepatan dengan salah satu akar sebelumnya), jadi itu pasti $t$.
Akhirnya, $t^2 - 4$ tidak bisa sama dengan keduanya $t$ maupun $s$, untuk alasan yang sama seperti di atas, jadi pasti begitu $r$.
Oleh karena itu kami punya $((r^2 - 4)^2 - 4)^2 - 4 = r$. Setelah faktorisasi, kami mendapatkan:$$(r^2 - r - 4) (r^3 - r^2 - 6r + 7) (r^3 + 2r^2 - 3r - 5) = 0.$$ Faktor pertama hanya berisi akar sebelumnya, jadi kami melihatnya $r^3 - r^2 - 6r + 7 = 0$ atau $r^3 + 2r^2 - 3r - 5 = 0$.
Jika $r^3 - r^2 - 6r + 7 = 0$, kemudian $s = r^2 - 4$ juga memuaskan $s^3 - s^2 - 6s + 7 = 0$, sebagaimana dapat diverifikasi sebagai berikut: $$(r^2 - 4)^3 - (r^2 - 4)^2 - 6(r^2 - 4) + 7 = (r^3 - r^2 - 6r + 7) (r^3 + r^2 - 6r - 7) = 0.$$
Untuk alasan yang sama, $t$ juga memuaskan $t^3 - t^2 - 6t + 7 = 0$. Karena itu$r, s, t$ adalah tiga akar yang berbeda dari polinomial $x^3 - x^2 - 6x + 7$, yang seperti itu $P(x) = x^3 - x^2 - 6x + 7$.
Begitu pula jika $r^3 + 2r^2 - 3r - 5 = 0$, lalu kami menyimpulkan itu $P(x) = x^3 + 2x^2 - 3x - 5$.