Saling menukar seri dan integral

Question

Saya tahu bahwa saya dapat menggunakan Lebesgue atau teorema konvergensi monoton untuk menukar batas jumlah parsial dan integral Lebesgue, diberi deret pangkat atau deret fungsi generik. Namun secara umum diberi seri$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ yang menyatu, dan ditentukan $\int_0^\infty\sum_{n=0}^{\infty}a_n f_n(u)du$ dengan $f_n(u)$integrable, saya bertanya-tanya kapan saya bisa bertukar integrasi dan seri. Secara khusus dalam konteks penjumlahan Borel, diberikan$\int_0^\infty e^{-u} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nu^n}{n!}du$, Saya bertanya-tanya bagaimana saya bisa mendemonstrasikannya jika $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$konvergen, maka saya bisa menukar integral dan seri. (Saya tahu itu untuk seri pangkat$\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ pekerjaan dapat dilakukan dengan menggunakan jari-jari konvergensi dan saya selalu dapat menemukan yang dominan)

Answer 1

Seperti yang dikemukakan oleh Gerald Edgar, kita dapat menggunakan teorema Fubini - Tonelli. Dengan teorema Tonelli,$$\int_0^\infty \sum_{n=0}^{\infty}\Big|e^{-u} \frac{a_nu^n}{n!}\Big|\,du =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|}{n!}\int_0^\infty e^{-u} u^n\,du =\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|<\infty.$$ Jadi, teorema Fubini dapat diterapkan, yaitu, seseorang dapat menukar integral dan deret.