Satu integral CWT terbalik
MATLAB 's inversi docs icwt negara harus dilakukan oleh tunggal terpisahkan:
$$ f(t) = 2 \Re e\left\{ \frac{1}{C_{\psi, \delta}} \int_0^\infty \left< f(t), \psi(t) \right> \frac{da}{a} \tag{1} \right\} $$
Dari mana ungkapan ini berasal, dan bagaimana integrasi berakhir $b$(terjemahan) dihilangkan (seperti dalam rumus Wiki )? Apakah itu berlaku jika komputasi secara diskrit melewati distribusi log$a$ (misalnya $(2^{1/32})^{[1, 2, ...]}$)?
Jawaban
Rumusnya didasarkan pada wavelet yang analitik , atau tidak nol hanya pada frekuensi non-negatif:${\hat\psi} (\omega < 0) = 0$. (Perhatikan semua wavelet juga memiliki${\hat \psi (0)}=0$sesuai kriteria dapat diterima). Dari Daubechies et al ,
$$ \begin{align} \int_0^\infty W_f(a, b) a^{-1} da & = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty}{\hat f}(\xi) \overline{ {\hat \psi}(a\xi)} a^{-1} da d\xi \tag{1a} \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \int_0^\infty {\hat f}(\xi) \overline{ {\hat \psi} (a\xi)} e^{jb\xi} a^{-1} da d\xi \tag{1b} \\ &= \int_0^\infty \overline{ {\hat \psi}(z)} \frac{dz}{z} \cdot \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty {\hat f}(\xi) e^{jb\xi} d\xi \tag{1c} \\ \end{align} $$
di mana perubahan variabel yang agak membingungkan diganti dengan yang lebih jelas, $z=a\xi,\ dz=\xi da$. Perhatikan bahwa cov ini hanya valid jika integral berbagi batas, yang diaktifkan oleh$\psi$analitik; jika tidak,$z$ akan berintegrasi $-\infty $ untuk $\infty$, tapi $z$ termasuk $a$, yang hanya mencakup $0$ untuk $\infty$. Sebuah identitas juga digunakan dalam integral membelah.
Asumsi $f$ itu nyata, kita punya ${\hat f(\xi)} = \overline{\hat f (-\xi)}$, demikian dari $0$ untuk $\infty$,
$$ \frac{1}{4\pi} \Re e \left\{ \int_0^\infty {\hat f(\xi)} e^{jb\xi} d\xi \right\} = f(b), $$
dan pengaturan $C_\psi = \int_0^\infty \overline{ {\hat \psi (z)}} z^{-1} dz$ dengan demikian berasal
$$ \begin{align} f(b) &= \frac{1}{2} \Re e \left\{ \frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty W_f(a, b) a^{-1} da \right\} \tag{2a} \\ &= \frac{1}{2} \Re e \left\{ \frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty f \star \overline{\psi_a(b)} \frac{da}{a} \right\} \tag{2b} \\ &= \boxed{ \frac{1}{2} \Re e \left\{ \frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty \left< f(t), \psi(t) \right> \frac{da}{a} \right\} } \tag{2c} \\ \end{align} $$
Sejak $W_f$ menyapu $b$ atas semuanya $t$, di atas berlaku setara untuk $f(t)$.
Kertas yang Anda tautkan menggunakan $a^{-3/2}$- Memang, karena mengasumsikan norma L2 pada wavelet, sedangkan MATLAB menggunakan L1; info lebih lanjut bisa dilihat disini .
Bagaimana tentang $\delta$? - Itu$\delta$ adalah dari MATLAB menulis ekspresi sebagai kasus khusus dari invers yang lebih umum, seperti yang ditunjukkan di atas di dekatnya, dengan $\left<f, g\right>$, yang diturunkan di sini .
dan $2 \Re e$? - Pertanyaan bagus - mungkin MATLAB$C_{\psi, \delta}$sedikit berbeda, tetapi menurut definisi di atas kami dengan jelas membagi dua, bukan mengalikan. Jika ragu, coba keduanya.
Interpretasi : itu membantu untuk mengamati itu$b$dalam semua turunan dapat diganti dengan konstanta - sehingga relasinya tetap mengarah ke titik ; jika kita berintegrasi$a$, yaitu kolom representasi frekuensi waktu 2D, kami memulihkan fungsi pada titik itu, $f(b)$.
Perhatikan di iCWT integral ganda kami menggunakan wavelet ganda untuk "membatalkan" produk dalam dengan wavelet CWT, analog dengan $e^{+j\omega t}$ di $\mathcal{F}^{-1}$; di sini, kami tidak menggunakan kernel pembalik apa pun - transformasi membatalkan dirinya sendiri ketika terintegrasi di semua skala. Ini menyiratkan beberapa properti simetri pada wavelet$\psi$dalam penyandian informasi lintas skala - meskipun saya tidak yakin bagaimana tepatnya ini berhasil; yang paling penting adalah analitik yang memungkinkan hal ini di tempat pertama, jadi orang dapat mencari jawabannya di sana.
Kasus yang didiskritisasi dengan terdistribusi secara eksponensial $a$
Dari halaman yang sama dari kertas yang ditautkan, membaca kasus linier diskrit
$$ f(b) \approx \frac{1}{2} \Re e \left\{ C_\psi^{-1} \sum_k W_f (a_k, b) \frac{(\Delta a)_k}{a_k} \right\}, \tag{3} $$
dengan $(\Delta a)_k$ mengambil peran $da$. Untuk kasus linier,$(\Delta a)_k = \Delta a$, tetapi tidak untuk kasus log, karena ukuran inkremen meningkat menjadi lebih besar $k$. Itulah satu-satunya perbedaan antara log dan linier.
Namun, dalam praktiknya, lebih baik menggunakan langsung transformasi skala log diskrit - yang diturunkan sebagai berikut:
$$ \begin{align} & z = e^a, \ dz = a da \\ & \frac{da}{a^2} = \frac{d \ln (z)}{z} \tag{4} \end{align} $$
Seharusnya $z(a) = 2^{a/32}$. Perhatikan bahwa log-plot dari skala eksponensial adalah linier, jadi selisihnya$\Delta(\ln (z))$ atau $d(\ln (z))$adalah konstan , dan sama dengan$\ln (z(1))da$. Untuk melihat ini dengan lebih baik, mari kita ambil contoh ini secara langsung, menggunakan$n_v$ untuk "jumlah suara":
$$ z(a) = 2^{a/n_v} \rightarrow dz(a) = z \frac{\ln(2)}{n_v} da = \ln(a_0)da \tag{5} $$
Saat mendiskrit, $da=1$, dan kami berakhir dengan
$$ \boxed{f[] \approx \frac{\ln (a_0)}{2 C_\psi} \Re e \left\{\sum_{k=1}^{K} \frac{1}{a_0^k} W_f (a_0^k, .) \right\} } \tag{6} $$
sama dengan Mallat Persamaan 4.67 (perhatikan turunannya untuk integral ganda, tetapi argumen skala yang sama berlaku di sini).