Seleksi terus menerus parameterizing ukuran diskrit

Question

Membiarkan $\mathcal{P}_n(\mathbb{R})$ menunjukkan himpunan ukuran probabilitas $\mathbb{R}$ untuk formulir $\sum_{i=1}^n k_i \delta_{x_i}$. Kemudian ukuran apa pun masuk$\mathcal{P}_n(\mathbb{R})$ ada pada gambar peta di $\Delta_n \times \mathbb{R}^n$, dimana $\Delta_n$ adalah $n$-simplex, mengambil $(k_1,\dots,k_n)\times (x_1,\dots,x_n)$ untuk $\sum_{i=1}^n k_j \delta_{x_i}$. Jelas peta ini kontinu, kapan$\mathcal{P}_n(\mathbb{R})$ dilengkapi dengan metrik Prokhorov.

Namun, apakah jelas bahwa itu mengakui seleksi berkelanjutan? Yaitu: sebuah kebalikan kanan kontinu (pasti tidak unik tentunya)?

Answer 1

$\newcommand\de\delta\newcommand\De\Delta$Jawabannya adalah tidak. Misalkan untuk kesederhanaan itu$n=2$ (kasus $n>2$ditangani dengan cara yang sama). Seandainya$g$adalah kebalikan kanan yang dimaksud. Kemudian$g(\de_0)=((p,q),(0,0))$ untuk beberapa $(p,q)\in\De_2$. Ambil sekarang$(s,t)\in\De_2\setminus\{(p,q),(q,p)\}$. Kemudian untuk setiap alam$k$ kita punya $g(s\de_{1/k}+t\de_{2/k})=((s,t),(1/k,2/k))$ atau $g(s\de_{1/k}+t\de_{2/k})=((t,s),(2/k,1/k))$, maka $g(s\de_{1/k}+t\de_{2/k})\not\to((p,q),(0,0))=g(\de_0)$ (sebagai $k\to\infty$), sedangkan $s\de_{1/k}+t\de_{2/k}\to\de_0$. Jadi, tidak ada hak seperti itu yang terbalik$g$ bisa terus menerus.