Soal Kalkulus yang mudah

Question

Inilah pertanyaannya- Temukan luas maksimum segitiga sama kaki yang tertulis di elips $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$. Guru saya menyelesaikannya dengan mempertimbangkan dua titik sembarang pada elips menjadi simpul segitiga, makhluk$(a\cos\theta, b\sin \theta)$ dan $(a\cos\theta, -b\sin \theta)$. (Anggap saja$\theta$ adalah theta) dan kemudian dilanjutkan dengan tes turunan (yang saya mengerti) Tapi, dia tidak menunjukkan apa yang kami $\theta$adalah, dan menyatakan bahwa titik-titik ini selalu terletak pada elips. Kenapa begitu? Dan bahkan jika mereka melakukannya, apa jaminan bahwa titik dari bentuk seperti itu akan menjadi simpul yang kita butuhkan? Satu hal lagi, saya akan sangat menghargai jika Anda dapat menyarankan cara lain untuk memecahkan masalah ini. Terima kasih!

Answer 1

Jika kita mempercayai argumen simetri, itu adalah masalah sederhana untuk mengoptimalkan area:

$$A_1 = a b \sin \theta (1+ \cos \theta)$$

$$A_2 = a b (1+ \sin \theta) \cos \theta$$

$$0=\frac{\partial A_1}{\partial \theta}=a b [\cos\theta (1+ \cos \theta)-\sin^2 \theta] = ab [\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \cos \theta]$$

$$0=\frac{\partial A_2}{\partial \theta}=a b [\cos^2 \theta - \sin \theta(1+ \sin \theta)]= ab[\cos^2 \theta - \sin^2 \theta-\sin \theta]$$

Solusi persamaan pertama menyertakan minimal pada $\theta=\pi$ dan maksimal pada $\theta = \mp \frac{\pi}{3}$.

Solusi untuk persamaan kedua mencakup minimum pada $\theta=-\frac{\pi}{2}$ dan maksimal pada $\theta = \frac{\pi}{6}$ dan $\frac{5\pi}{6}.$

Menarik, kami mendapatkan solusi yang selaras dengan $x-$sumbu dan $y-$sumbu!

Anda pasti bisa memecahkan masalah dengan mengambil tiga titik sembarang pada elips, membatasinya untuk terletak di segitiga iscoceles, dan kemudian menggunakan pengali Lagrange. Solusinya akan menjadi seperti yang ditemukan di atas.