Solusi asing dari penggantian persamaan

Question

Saya menemukan contoh bagaimana Anda bisa berakhir dengan solusi yang tidak relevan tetapi saya bertanya-tanya bagaimana itu muncul. Kami memiliki persamaan:$$x^2+x+1=0 $$ Karena x = 0 tidak memenuhi persamaan tersebut, Anda dapat membaginya dengan x pada kedua sisi yang menghasilkan: $$x+1+\frac{1}{x}=0$$yang setara dengan persamaan pertama kita. Dari persamaan pertama kita dapat menyimpulkan bahwa:$$-x^2=x+1$$ Kami sekarang menggantinya ke persamaan kedua untuk mendapatkan:$$x^2=\frac{1}{x}$$ yang mengakibatkan $$x^3=1$$yang setara dengan persamaan kita sebelumnya karena x tidak boleh 0. Namun, salah satu solusi dari persamaan terakhir kita adalah x = 1, yang bukan merupakan solusi dari persamaan awal kita. Saya memiliki gagasan samar bahwa itu mungkin ada hubungannya dengan fakta bahwa Anda mendapatkan persamaan kubik dan Anda mulai dengan kuadrat, dan langkah itu menyiratkan yang berikut dan bukan sebaliknya, tetapi dapatkah Anda memberikan jawaban yang sangat rinci tentang mengapa itu? muncul? Bisakah Anda memberikan lebih banyak contoh?

Answer 1

Jika kita menelepon $A(x)=x^2+x+1$ dan $B(x)=x+1+\frac1x$, kami dapat membuat skema bagian Anda seperti ini: $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$

Padahal untuk menjaga kesetaraan sebaiknya Anda jaga $A(x)=0$ di $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$

Answer 2

Substitusi ini ($x+1=-x^2$) mengembangkan satu set akar persamaan

karena $-x^2$ juga tergantung $x$.

Anda bisa menggantinya $x+1=y$, sebagai contoh.

Lebih banyak contoh, ketika substitusi serupa memberikan masalah serupa.

Mari kita perlu menyelesaikannya $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$

Kami memperoleh: $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ atau $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ Sekarang, sejak $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ yang bisa mendapatkan sesuatu yang buruk, kami memperoleh: $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ atau $$x(440x^2+630x+189)=0$$ dan kami dapatkan sebagai salah satu opsi $x=0$.

Mudah dilihat $0$ bukan akar dari persamaan awal dan itu terjadi

karena kami menggunakan substitusi yang tidak benar $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$

Sekarang, kita perlu memeriksa semua akar persamaan $440x^2+630x+189=0$ adalah akar dari persamaan awal, yang tidak mudah.

Jika kita ingin terhindar dari masalah tersebut, maka kita perlu menggunakan identitas berikut. $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$

Answer 3

Semua transformasi persamaan harus dapat dibalik. Dengan$x=0$,

$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ baik-baik saja.

Tapi menggabungkan dua persamaan menjadi satu $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ tidak.