Stone-Weierstrass seperti teorema.

Question

Membiarkan $f$ menjadi fungsi berkelanjutan yang dihargai nyata $[-1,1]$ seperti yang $f(x) = f(-x),$ untuk semua $x \in [-1,1].$ Tunjukkan itu untuk setiap $\varepsilon \gt 0$ ada polinomial $p(x)$ dengan koefisien rasional sedemikian rupa untuk setiap $x \in [-1,1],$ $$\left \lvert f(x) - p(x^2) \right \rvert \lt \varepsilon.$$

Bagaimana cara membuktikannya? Bantuan apa pun akan sangat dihargai.

Terima kasih sebelumnya.

Answer 1

Mari kita buktikan dulu berikut ini.

1. Seharusnya $p$ adalah polinomial aktif $[-1, 1]$ dan biarkan $\varepsilon>0.$ Ada polinomial $q$ Dengan koefisien rasional sedemikian rupa $\|p-q\|<\varepsilon.$

Bukti. Untuk melihat ini mari$\deg(p)=n$ dan biarkan $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_0.$ Pilih alasannya $b_i$ seperti yang $|a_i-b_i|<\varepsilon/(n+1).$ Sekarang amati itu untuk semua $x\in [-1, 1]$ kita punya $|p(X)-q(x)|<\varepsilon.$

Sekarang, hal kedua yang perlu dibuktikan adalah bahwa fungsi genap $f$ Dapat didekati dengan polinomial in $x^2.$ Saya percaya (karena komentar Anda) bahwa Anda tidak mengalami kesulitan untuk menunjukkan ini.

Saya harap Anda sekarang dapat melihat bagaimana klaim Anda mengikuti.