Studi Acara dengan dua perawatan

Question

Katakanlah saya ingin memasukkan dua perlakuan berbeda dalam perbedaan dalam perbedaan pada saat yang sama, jadi saya dapat memiliki:

$y_{i,t} = \lambda_i +\tau_t + Treat1_i*post_t+Treat2_i*post_t + \eta_{i,t}$,

dimana $\lambda_i$ adalah efek tetap grup, posting adalah boneka untuk perawatan pasca, $\tau_t$adalah efek tetap tahun, dan Treat1 termasuk dalam perawatan 1 dan Treat2 termasuk dalam perawatan 2. Sekarang katakanlah saya ingin menjalankan spesifikasi studi acara untuk memeriksa tren awal dan melacak efek dinamis. apakah masuk akal untuk menjalankan yang berikut ini:

$y_{i,t} = \lambda_i +\tau_t + \sum\limits_{k \neq -1}Treat1_i *\mathbb{1}\{t=k\}\beta_k + \sum\limits_{k \neq -1}Treat2_i *\mathbb{1}\{t=k\}\delta_k + \eta_{i,t}$

Dimana saya menghilangkan event tahun -1, satu tahun sebelum pengobatan. Juga asumsikan bahwa kedua perlakuan terjadi pada waktu yang sama, maka k = -1, tahun kejadian adalah tahun yang sama untuk setiap perlakuan. Apakah ini menghasilkan interpretasi normal studi peristiwa untuk setiap perkiraan$\beta$ dan $\delta$?

Saya pikir secara intuitif itu masuk akal, tetapi kebingungan saya timbul dari fakta bahwa dalam pengaturan ini, sekarang ada 2 kategori yang dihilangkan, jadi bagaimana saya memastikan bahwa setiap koefisien pada boneka tahun acara perawatan adalah dengan mengacu pada kelompok yang tidak berlaku sesuai dengan perlakuan khusus itu?

Answer 1

Jika kami mengasumsikan periode adopsi perlakuan standar untuk semua entitas yang dirawat, maka hal itu menyederhanakan banyak hal. Saya mereproduksi model pertama Anda di bawah ini:

$$ y_{i,t} = \lambda_i + \tau_t + \beta (Treat^1_i \times Post_t) + \delta (Treat^2_i \times Post_t) + \eta_{i,t}, $$

di mana saya superscripted angka untuk mengindeks perlakuan yang berbeda. Di sini, kami memiliki tiga kelompok paparan (yaitu, kelompok kontrol, kelompok perlakuan 1, kelompok perlakuan 2) dan dua kontras. Anda membandingkan$Treat^1_i$dengan kelompok kontrol dan $Treat^2_i$ dengan kelompok kontrol dalam satu regresi besar. $Post_t$didefinisikan dengan baik sehingga kami dapat melanjutkan dengan cara ini. Setelah entitas yang berbeda (atau kelompok entitas) memiliki periode adopsi yang berbeda, maka kita perlu melakukan pendekatan ini dengan cara yang berbeda. Untuk saat ini, pendekatan perbedaan dalam perbedaan (DD) "klasik" dengan indikator pasca perawatan khusus untuk semua kelompok adalah tepat. Perhatikan, Anda sebenarnya dapat menjalankan model DD terpisah pada subkumpulan data Anda dan mendapatkan perkiraan yang sama. Satu subset akan menyertakan semua kontrol dan$Treat^1_i$entitas — hanya; demikian pula, yang lain akan menyertakan semua kontrol dan$Treat^2_i$entitas — saja. Namun, saya akan menggunakan satu regresi lemak besar. Posting ini juga membahas spesifikasi yang sangat mirip.

Saya harus mencatat kekhawatiran. Termasuk$\lambda_i$ dan $\tau_t$baik-baik saja, tetapi perangkat lunak (misalnya, R) akan menghilangkan tiga efek utama karena singularitas. Misalnya,$Treat^1_i$ dan $Treat^2_i$ adalah collinear dengan unit efek tetap (yaitu, $\lambda_i$) dan akan dibuang. Demikian pula,$Post_t$ adalah collinear dengan efek waktu tetap (yaitu, $\tau_t$) dan juga akan dihapus. Jangan khawatir, penghapusan efek utama tidak akan mempengaruhi perkiraan Anda$\beta$ dan $\delta$. Abaikan singularitas dalam output Anda, atau jatuhkan efek tetap. Dalam pengaturan seperti Anda di mana Anda memiliki periode eksposur yang ditentukan dengan baik, interaksi boneka perawatan dengan indikator pasca perawatan adalah semua yang diperlukan.

Dimana saya menghilangkan event tahun -1, satu tahun sebelum pengobatan. Juga asumsikan bahwa kedua perlakuan terjadi pada waktu yang sama, maka k = -1, tahun kejadian adalah tahun yang sama untuk setiap perlakuan. Apakah ini menghasilkan interpretasi normal dari studi peristiwa untuk setiap perkiraan 𝛽 dan 𝛿?

Iya. Kami masih memiliki kontras yang sama. Mereproduksi persamaan Anda:

$$ y_{i,t} = \lambda_i +\tau_t + \sum\limits_{k \neq -1}Treat^1_i * \mathbb{1}\{t=k\}\beta_k + \sum\limits_{k \neq -1}Treat^2_i * \mathbb{1}\{t=k\}\delta_k + \eta_{i,t}, $$

di mana Anda sekarang memenuhi persamaan Anda dengan boneka waktu (tahun). Referensi Anda adalah tahun sebelum perawatan (yaitu,$k = -1$) atau tahun apa pun yang Anda putuskan untuk dihilangkan. Dalam pengaturan ini, keluaran Anda akan menampilkan satu set lengkap interaksi unik$Treat^1_i$dengan semua tahun dan serangkaian interaksi unik lengkap$Treat^2_i$dengan semua tahun. Satu tahun harus (atau saya harus mengatakan akan) dihilangkan; tahun sebelum pengobatan, yang sama untuk kedua kelompok perlakuan, adalah pilihan yang baik. Kedua boneka perawatan, bagaimanapun, akan diserap oleh efek tetap unit; sekali lagi, ini seharusnya bukan urusan Anda.

Saya pikir secara intuitif itu masuk akal, tetapi kebingungan saya timbul dari fakta bahwa dalam pengaturan ini, sekarang ada 2 kategori yang dihilangkan, jadi bagaimana saya memastikan bahwa setiap koefisien pada boneka tahun acara pengobatan adalah dengan mengacu pada kelompok yang dihilangkan sesuai dengan perawatan tertentu itu?

Dalam komentar Anda menunjukkan bahwa perawatan dimulai pada waktu yang sama untuk semua unit , terlepas dari apakah unit berada$Treat^1_i$ atau $Treat^2_i$. Anda tidak perlu menghilangkan dua titik; satu periode sudah cukup. Tidak ada yang benar-benar berubah dalam spesifikasi ini selain kami menyertakan satu set lengkap waktu (tahun) boneka.

Sebagai gambaran, anggaplah Anda mengamati 10 distrik selama 10 tahun. Dua distrik termasuk dalam kelompok perlakuan intensitas rendah yang dilambangkan$T_{L,i}$ dan 2 distrik lainnya termasuk dalam kelompok perlakuan intensitas tinggi yang dilambangkan $T_{H,i}$. 6 sisanya tidak menerima perlakuan dan berfungsi sebagai kelompok kontrol Anda. Intervensi dimulai di tengah rangkaian waktu Anda. Semua distrik yang dirawat mengadopsi beberapa intervensi pada tahun yang sama tetapi dua kelompok perlakuan berbeda dalam tingkat intensitas "kategoris" ini; beberapa kabupaten memiliki dosis tinggi dan beberapa rendah. Menjalankan persamaan terakhir, output Anda akan menampilkan 9 efek distrik, 9 efek tahun, 9 interaksi antara boneka intensitas rendah dan indikator untuk semua tahun ($T_{L,i} \times \mathbb{1}_{t = k}$) dan 9 interaksi lainnya antara boneka berintensitas tinggi dan indikator selama bertahun-tahun ($T_{H,i} \times \mathbb{1}_{t = k}$).

Interaksi mewakili evolusi unik dari efek untuk setiap kelompok perlakuan kategoris, relatif terhadap kelompok kontrol, sebelum dan sesudah intervensi. Anda dapat memikirkan efek dalam periode pra-perawatan (yaitu,$k < -1$) sebagai perawatan plasebo. Semoga Anda tidak mengamati konsekuensi dari intervensi sebelum dimulai! Setiap efek bukan nol yang kuat di era sebelum pajanan pengobatan dapat ditafsirkan sebagai bias seleksi.

Sekali lagi, ini bekerja dengan baik ketika waktu pengobatan ditentukan dengan baik untuk semua kelompok.