Supremum dari $\sin(x) + \sin(\varphi x)$

Question

Membiarkan $\varphi$menjadi rasio emas. Apa keunggulan dari$f(x)=\sin(x) + \sin(\varphi x)$?

Ide saya adalah kita dapat mempertimbangkan urutan fungsi $f_n(x) = \sin(x) + \sin(\frac{F_{n+1}}{F_n} x)$ untuk angka Fibonacci $F_n$, yang menyatu dengan $f(x)$. Urutannya$\{x_n\}_{n \geq 1}=F_n \pi + a_n$ memuaskan $f_n(x_n) = \sin(a_n) + \sin(F_n a_n)$, sehingga jika kita memilih yang benar $a_n$, kemudian $f_n(x_n) =2$ $\forall n$; yang mengubah masalah menjadi satu dengan integer, bukan$\varphi$, tapi saya tidak yakin harus melanjutkan ke mana dari sini.

Answer 1

Jelas maksimum di atas dibatasi oleh $2$, karena masing-masing $\sin$ memiliki maksimal $1$.

Anda mendapatkan hasil maksimal untuk fungsi pertama saat $\sin x = 1$ atau $x = 2 \pi k_1 + \pi/2$ untuk beberapa bilangan bulat $k_1$, dan juga kapan $\sin (\phi x) = 1$ atau $\phi x = 2 \pi k_2 + \pi/2$. Sedikit manipulasi memberikan:

$$k_1 = \frac{k_2}{\phi} - \frac{\phi - 1}{4 \phi}$$

Karena $\phi$ tidak rasional, seseorang tidak dapat menyelesaikan persamaan ini dengan tepat $k_1$ dan $k_2$. Namun, Anda dapat mendekati ini secara acak dengan memilih$k_2$ sangat besar (mis., $10^{1000}$), dan memecahkan $k_1$. Dengan cara ini Anda bisa menjadi lebih dekat$f(x) = 2$ sesukamu.