Temukan batas 2 urutan
Saya memiliki 2 urutan saya harus menemukan batasnya. Tetapi saya tidak yakin apakah saya telah membuktikan ini dengan cukup benar atau apakah ada cara yang lebih baik untuk melakukannya.
(Sebuah) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}$
(b) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n}$ , untuk $a,b \gt 0$
Jadi untuk (a) saya memilikinya sejak itu $(-1)^n$dibatasi, tidak relevan untuk n besar. Juga, (Saya tidak tahu istilah yang tepat untuk ini) sejak$n^2$ lebih dominan dibandingkan $n$, untuk sangat besar $n$, batasnya pada dasarnya $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2}{5n^2}$ $= 1/5$.
Saya tidak tahu bagaimana menulis ini dengan benar karena ini tampaknya cukup informal dan tidak terbukti.
untuk (b) saya tidak begitu yakin. Pertama saya mencoba memfaktorkan sesuatu tetapi saya tidak sampai sejauh itu. Sekarang saya dulu$c$ $=$ $a^n+2b^n$. Ini menghasilkan$\frac{c}{3c-b^n}$. Tapi di situlah saya terjebak. Bagaimana saya melanjutkan dari ini?
Jawaban
Untuk yang pertama untuk memformalkan gunakan itu
$$\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}=\frac{1+\frac{(-1)^n}{n^2}}{5+\frac3n+\frac1{n^2}}$$
untuk yang kedua yang kami miliki
$$\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n} =\frac{\left(\frac ab\right)^n+2}{3\left(\frac ab\right)^n+5}$$
kemudian pertimbangkan kasusnya $a>b$, $a=b$ dan $a<b$.
Petunjuk: Untuk membenarkan jawaban Anda untuk a) bagi semua suku dengan $n^{2}$ dan ambil batasnya.
Jika $a>b$ bagi semua suku dengan $a^{n}$. Anda melihat bahwa batasnya adalah$\frac 1 3$ (sejak $(\frac b a)^{n} \to 0$). Jika$a<b$ dibagi dengan $b^{n}$ untuk melihat bahwa batasnya $\frac 2 5$. Jika$a=b$ maka batasnya adalah $\frac {1+2} {3+5}$.