Transformasi Lemma dan Laplace dari Watson

Question

Gunakan lemma Watson untuk menemukan perluasan $$F(\lambda) = \int_{0}^{\infty} e^{- \lambda t} sin(t)dt$$ , dan verifikasi jawaban menggunakan transformasi Laplace dengan memperluas jawaban menggunakan pemuaian Taylor.

Membandingkan integral di atas dengan $$F(\lambda) = \int_{0}^{\infty} e^{- \lambda t} f(t)dt.$$

Untuk menerapkan lemma Watson yang kita butuhkan $f(0) \neq 0$, dalam kasus kami itu $f(0)=0.$ Jadi saya terintegrasi dengan bagian-bagian sebelum menerapkan Lemma Watson: $$F(\lambda) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\lambda}e^{- \lambda t}\ cos(t) \ dt \sim \frac{1}{\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(0)}{n!} \frac{\Gamma(n+1)}{\lambda^{n+1}} \sim \frac{1}{\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\lambda^{n+1}} $$

Menggunakan transformasi Laplace: $$F(\lambda) = \int_{0}^{\infty} e^{- \lambda t} sin(t)dt = \frac{1}{1+ \lambda^{2}} = \frac{1}{\lambda^{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\lambda^{2n}}$$

Pertanyaan saya

Saya tidak dapat mengetahui di mana saya membuat kesalahan karena saya mendapatkan jawaban yang berbeda dengan dua metode berbeda. Bisakah seseorang mengetahui kesalahan saya?

Terima kasih untuk bantuannya!

Answer 1

Jika $f(t)=\cos(t)$, kemudian

$$\begin{align} f'(t)&=-\sin(t)\\\\ f''(t)&=-\cos(t)\\\\ f'''(t)&=\sin(t)\\\\ f''''(t)&=\cos(t) \end{align}$$

Oleh karena itu, kami menemukannya $f^{(n)}(0)=0$ untuk setiap bilangan bulat ganjil $n$ dan $f^{(n)}(0)=(-1)^{n/2}$ untuk setiap bilangan bulat genap $n$.

Bisakah Anda menerapkan Lemma Watson sekarang?