Transformasi Operator yang Dapat Diamati
Dalam buku Ballentine tentang QM di Bab 3 dia menyatakan, bahwa jika vektor keadaan ditransformasikan ada transformasi yang sesuai pada operator yang terkait dengan yang dapat diamati. Dalam matematika, jika $$ |\mathbf{\psi'}\rangle = U|\mathbf{\psi}\rangle$$
dan
$$ A |\mathbf{\psi} \rangle = a_n |\mathbf{\psi} \rangle $$
Maka harus ada yang dapat diamati dengan.
$$ A' | \mathbf{\psi'} \rangle = a_n |\mathbf{\psi'} \rangle $$
Yang menyiratkan itu
$$ A' = UAU^{-1} $$
Namun, saya tidak terlalu mengikuti pembenaran untuk pernyataan bahwa nilai eigen harus sama di atas. Saya bingung dengan tampilan transformasi aktif dan pasif dan bagaimana penerapannya di sini. Ballentine mengatakan dia menggunakan sudut pandang aktif. Jadi vektor negara,$|\mathbf{\psi} \rangle$, dipindahkan ke lokasi baru dalam sistem koordinat yang sama.
Mengapa kami juga mengubah observasi sehingga hal berikut ini benar? $$ A' | \mathbf{\psi'} \rangle = a_n |\mathbf{\psi'} \rangle $$
Edit
Berdasarkan komentar di bawah, ada beberapa kebingungan tentang pertanyaan saya yang sebenarnya. Saya mengerti bahwa jika Anda berubah$A$ seperti
$$ A' = UAU^{-1} $$
Itu akan kamu dapatkan,
$$ A' | \mathbf{\psi'} \rangle = a_n |\mathbf{\psi'} \rangle $$
Pertanyaan saya adalah mengapa kita tidak hanya menggunakan operator A yang sama pada vektor keadaan yang diubah, $|\psi \rangle$?
Jawaban
Izinkan saya menunjukkan kepada Anda apa yang sebenarnya terjadi di sini, masalah Anda akan hilang secara otomatis. Saya akan berbicara dalam hal transformasi 2D sehingga mudah untuk divisualisasikan.
$$|\psi'\rangle=U|\psi\rangle$$
Kalimat berikut mengatakan, bahwa ketika Anda menerapkan transformasi pada beberapa vektor, Anda mendapatkan vektor baru (untuk tampilan visual ). Yang berikutnya adalah $$A|\psi\rangle=a_n|\psi\rangle$$ Ini menunjukkan bahwa vektor $|\psi\rangle$ adalah vektor eigen dari $A$ itu berarti setelah transformasi itu hanya skala dengan faktor.
Sekarang pertanyaan yang ingin kita tanyakan adalah jika saya menerapkan transformasi $U$ di seluruh ruang sehingga setiap vektor diubah dan begitu juga $|\psi\rangle$ yang merupakan vektor eigen $A$, Apa yang akan menjadi transformasi baru $A'$ untuk itu $|\psi\rangle$ akan menjadi vektor eigen?
Pertanyaan saya adalah mengapa kita tidak hanya menggunakan operator A yang sama pada vektor keadaan yang diubah, $|ψ⟩$?
Alasannya sederhana karena sudah bertransformasi $|\psi\rangle$ bukan lagi vektor eigen untuk $A$. Tapi saya ingin memberi sedikit pengertian .. jadi bergaul dengan saya.
Mari kita kembali ke pertanyaan yang menarik. Sekarang untuk kesederhanaan, Kita bisa memikirkannya$U$sebagai rotasi. Idenya adalah bahwa setelah transformasi (rotasi) setiap vektor yang searah$|\psi\rangle$harus berbaring pada baris yang sama setelah tranforamasi. Misalnya setelah rotasi 90 derajat$\hat{i}$ dan $2\hat{i}$ akan tetap paralel.
Jadi kami mencurigai bahwa setiap vektor eigen $A$harus berada di baris yang sama setelah transformasi. Sekarang untuk mencari matriks tersebut: Pertama kita membalikkan efek rotasi dengan matriks invers. Sehingga kita kembali ke keadaan semula begitu$U^{-1}U|\psi\rangle$. Langkah selanjutnya adalah menggunakan fakta bahwa kita mengetahui transformasi yang merupakan vektor eigen dan seterusnya$AU^{-1}U|\psi\rangle$. Sekarang kita akan menerapkan kembali transformasi kita untuk membalikkan efeknya$UAU^{-1}U|\psi\rangle$.
Dalam Gambar aktif, hal ini tidak mengatakan apa-apa kecuali setelah transformasi vektor eigen terletak pada garis yang sama.
Tapi ada sesuatu yang sangat menyenangkan terjadi pada gambar Pasif. Itulah yang Anda temukan sebagai catatan singkat:
$$U^{-1}A'U$$
Ini menunjukkan empati matematika yang singkat. Itu untuk mengubah perspektif. Matriks$U$adalah apa perubahan itu prespektif. Jika Anda tidak mendapatkannya, di sini .
Saya rasa saya mengerti sekarang. Saya akan mengatakan bahwa menurut saya deskripsi buku itu membingungkan.
Pada dasarnya, apa yang dikatakan Ballentine adalah bahwa hukum phyiscs tidak berubah di bawah transformasi Galilea.
Dengan kata lain, jika kita memiliki beberapa vektor status, $|\psi\rangle$, dan kami melakukan transformasi ruang waktu ke kerangka acuan lain maka hukum fisika harus sama.
Jadi, misalnya jika kita melakukan terjemahan,
$$|\psi'\rangle = e^{-i\mathbf{a}\cdot \mathbf{P}/\hbar}|\psi\rangle $$
Kemudian, untuk setiap Observable, harus ada cara untuk menerjemahkannya juga, sehingga jika pengamat juga diterjemahkan, mereka akan mengamati hal yang sama seperti pada sistem yang tidak diterjemahkan. Jika Anda melihat vektor eigen dari suatu yang dapat diamati, ini berarti bahwa untuk,
$$ A|\phi_n\rangle = a_n |\phi_n\rangle$$ $$ A'|\phi'_n\rangle = a_n |\phi'_n\rangle$$
Dengan kata lain terdapat A 'sehingga untuk sistem yang diterjemahkan itu diamati sama dengan sistem yang belum diterjemahkan, dengan
$$ A' = U A U^{-1} $$
Untuk kasus posisi ini berakhir dengan, $$Q' = Q-\mathbf{a}\cdot I$$
Atau dengan kata lain, pengamat yang diterjemahkan akan berakhir dengan pengurangan $\mathbf{a}$ dari posisi yang mereka rekam.
Penyajian semua ini terasa agak membingungkan bagi saya. Sungguh, kami memiliki dua pengamat dalam dua sistem koordinat yang berbeda. Kami pada dasarnya mencari operator$A'$ sedemikian rupa sehingga untuk vektor negara yang diterjemahkan, $\psi'\rangle = U \psi\rangle$, dalam sistem koordinat kami, yang memberi tahu kami seperti apa tampilan yang dapat diamati bagi pengamat dalam sistem koordinat yang diterjemahkan.