Vandermonde-Matrix Umum

Question

Membiarkan $z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\setminus\left\lbrace 0 \right\rbrace$ menjadi bilangan kompleks yang berbeda, $\lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_n$ bilangan bulat positif dan definisikan $$A = \left( z_i^{\lambda_k}\right)_{i,j = 1,\ldots, n} = \begin{pmatrix} z_1^{\lambda_1} & z_1^{\lambda_2} & \cdots & z_1^{\lambda_n} \\ z_2^{\lambda_1} & z_2^{\lambda_2} & \cdots & z_2^{\lambda_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_n^{\lambda_1} & z_n^{\lambda_2} & \cdots & z_n^{\lambda_n} \end{pmatrix}.$$ Benarkah itu $A$ apakah bisa dibalik?

Saya menemukan pertanyaan terkait ini tetapi berkaitan dengan bidang terbatas di mana dalam kasus saya bidang yang mendasarinya adalah bidang kompleks.

Jika $\lambda_k = k -1 $ untuk $k = 1, \ldots, n$, kemudian $A$adalah Matriks Vandermonde yang terkenal, jadi dalam hal ini jawabannya positif. Saya telah mencoba menghitung determinan$A$ analog dengan bagaimana hal itu dilakukan jika $A$ adalah Vandermonde-Matrix tetapi tidak berhasil.

Adakah yang punya referensi atau bukti yang menjawab pertanyaan ini?

Terima kasih sebelumnya...

Answer 1

Itu belum tentu bisa dibalik. Mempertimbangkan$z_1 = 1, z_2 = -1$, dengan $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4$. Maka matriks yang dihasilkan adalah$2 \times 2$ matriks yang, yang jelas tidak dapat dibalik.

Untuk melihat mengapa hal ini secara umum belum tentu dapat dibalik, pikirkan matriks Vandermonde sebagai interpolasi polinomial. Matriks Vandermonde normal, misalnya, memberikan nilai$(n - 1)$polinomial tingkat th akan melalui $n$poin yang berbeda. Yang Anda tanyakan di sini adalah mencari polinomial yang semua koefisiennya nol kecuali koefisien suku-suku tersebut$x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}, \cdots, x^{\lambda_n}$. Untuk membuat counterexample, kita hanya perlu mencatat bahwa polinomial tersebut memiliki$\lambda_n - \lambda_1$ akar bukan nol, dan jika $n$ ini $\lambda_n - \lambda_1$ akar berbeda, kami dapat menemukan $n$ nilai-nilai berbeda untuk diberikan $z_1, \cdots, z_n$ dan memiliki matriks menjadi tunggal (mengapa?).