Variasi metrik

Question

Saya melihat penurunan persamaan medan Einstein sebagai persamaan Euler-Lagrange dari fungsi Hilbert. Untuk melakukan ini, mulailah dengan variasi$$ g(t) = g+th $$ metrik, di mana $h$adalah tensor 2-kovarian simetris. Untuk kecil$t$, $g(t)$ akan dapat dibalik (jika kita menafsirkannya sebagai matriks), jadi masuk akal untuk mempertimbangkan komponennya $g(t)^{ij}$dari kebalikannya. Kita punya$$ 0 = \frac{d}{dt}\Big|_0 (g(t)_{ij} \, g(t)^{jk}) = h_{ij} g^{jk} + g_{ij}h^{jk} \quad\Rightarrow \quad h^{lk} = - g^{il} g^{jk} h_{ij}. $$ Pertanyaan saya: Apa sebenarnya koefisien$h^{lk}$ mewakili?

Saya selalu berpikir bahwa jika seseorang memiliki, katakanlah, tensor kovarian 1 $A = A_i dx^i$, kemudian $A^i$ menunjukkan komponen tensor 1-kontravarian $A^\#$(lih. isomorfisme musik ), diberikan oleh$A^i = g^{ij}A_j$. Namun dalam rumus untuk$h^{lk}$ di atas kita juga memiliki tanda minus di depan, sejauh yang saya bisa lihat koefisiennya $h^{lk}$ tidak diperoleh dengan menaikkan indeks $h_{lk}$. Meski begitu, metriknya tidak benar-benar diperbaiki dalam kasus ini sehingga isomorfisme musiknya juga tidak, yang mungkin menjadi sumber kebingungan bagi saya.

Answer 1

Kesalahan Anda adalah itu $$h^{jk} \neq \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{jk}.$$Faktanya, $h^{jk}$ adalah diperoleh dari mengangkat kedua indeks$h_{jk}$. Apa yang Anda tunjukkan adalah itu$$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{\ell k} = -g^{i\ell}g^{jk}h_{ij} = - h^{\ell k}.$$Filosofi di baliknya adalah: Anda tahu kecepatan awal kurva $t\mapsto g(t)$ aku s $h$, dan Anda ingin menghitung kecepatan awal objek geometris lain yang terkait $g(t)$ istilah dari $h$. Kecepatan awal kurva koefisien terbalik adalah$-h$ (hingga isomorfisme musik).

Berurusan dengan koefisien, Anda melakukan perhitungan pada kelompok matriks Lie. Di sana, rumus untuk turunan dari inversi$\iota(A)=A^{-1}$ diberikan oleh $d\iota_A(H) = - A^{-1}HA^{-1}$, jadi semuanya baik-baik saja (bandingkan dengan $(1/x)'=-1/x^2$dan membuatnya tidak komutatif; setiap$A^{-1}$ sesuai dengan menaikkan satu indeks).