Volume Berbeda Menggunakan Metode Shell & Disk

Question

Saya sudah mencoba menemukan kesalahan saya untuk sementara waktu, tetapi sepertinya saya tidak dapat menemukannya. Mungkin aku melewatkan lubang yang ada?

Saya mencoba volume wilayah yang dibatasi antara $x=1$, $x=3$ dan fungsi linier $y=x-1$, juga $x = 0$ memutar wilayah itu tentang $y$-sumbu. Upaya pertama saya adalah menggunakan Metode Disk, yang didefinisikan sebagai

$\begin{align}V=\displaystyle{\pi \int_{y_1}^{y_2}}(f(y))^2dy=\displaystyle{\pi \int_{0}^{2}}(y+1)^2dy=\dfrac{26}{3}\pi\end{align}$

Saya kemudian mencoba menyelesaikan masalah ini menggunakan Metode Shell dan mendapatkan jawaban yang berbeda:

$V=\displaystyle{2\pi \int_{x_1}^{x_2}xf(x)dx}=2\pi\int_{1}^{3}x(x-1)dx=\dfrac{28}{3}\pi$

Saya telah mencoba menemukan kesalahan saya untuk sementara waktu, mencoba kalkulator dan WolframAlpha yang berbeda, tetapi sepertinya saya tidak bisa melakukannya dengan benar, mungkin saya melewatkan beberapa konsep penting? Mohon maaf jika pemformatan saya tidak bagus, karena ini adalah pertanyaan pertama saya di sini.

Saya akan sangat menghargai jika seseorang dapat mengarahkan saya ke arah yang benar.

Answer 1

Metode disk Anda tidak aktif. Itu bekerja ketika wilayah tersebut menentang$y$-sumbu. Saat itulah Anda dapat memotong padatan revolusi menjadi disk dan menemukan volumenya sebagai silinder datar.

Namun, wilayah Anda diiris menjadi apa yang disebut mesin cuci (lakukan penelusuran gambar untuk "perangkat keras mesin cuci", dan Anda kemungkinan besar akan mendapatkan banyak gambar tentang tampilannya; analogi visual umum lainnya adalah koin dengan lubang di dalamnya) . Dan volume mesin cuci paling baik ditemukan dengan mengisi lubang, menghitung volume cakram yang dihasilkan, lalu mengurangi volume lubang. Ini meningkatkan metode disk menjadi metode pencuci.

Jari-jari terluar dari ring adalah $3$, dan jari-jari dalamnya adalah $y+1$. Artinya, integral harus benar-benar$$ \pi\int_0^2\big(3^2-(y+1)^2\big)dy $$

Answer 2

Dengan metode disk yang kami miliki

$$V=\pi \int_{0}^{2}\left[3^2-(f(y))^2\right]dy=\pi \int_{0}^{2}(8-y^2-2y)dy=\frac{28}{3}\pi$$

Mari menggambar sketsa bidang untuk volume untuk melihat mengapa cara lain salah.