Weil Restriction dan Distinguished Open
Saya punya dua pertanyaan terkait tentang Pembatasan Weil. Membiarkan$E/F$ menjadi perpanjangan lapangan, dan biarkan $A$ kacang $E-$aljabar. Asumsikan bahwa semua batasan skalar yang relevan ada. Kami memiliki peta norma$n: A \rightarrow RA$. Saya ingin menunjukkan itu untuk$f \in A$ kita punya $R(A_f) \simeq (RA)_{n(f)}$ (ini soal 11.4.7 (6) di Grup Aljabar Linear Springer).
Menggunakan functoriality, sesuai peta $A \rightarrow A_f$, kami memiliki peta induksi $RA \rightarrow R(A_f)$ dan sejak $n(f) \in RA$ dipetakan ke sesuatu yang bisa dibalik $R(A_f)$, berdasarkan sifat universal, morfisme $RA \rightarrow R(A_f)$ faktor melalui $(RA)_{n(f)} \rightarrow R(A_f)$. Namun, saya tidak yakin bagaimana melanjutkannya di sini.
Perspektif yang lebih terpadu di sini mungkin diberikan oleh para fungsi poin dan pemikiran secara relatif. Jadi di sini, mengerjakan skema dasar$S' \rightarrow S$, untuk sebuah $S$-skema $Y$ dan sebuah $S'$-skema $X$ kita punya
$Hom_{S'}(Y \times_S S', X)=Hom_S(Y, \Pi_{S'/S}X).$
Selain itu dalam pengaturan ini, kita tahu bahwa mengambil batasan skalar bolak-balik dengan perubahan dasar. Jadi pertanyaan saya adalah; bagaimana rumusan skema dari pertanyaan di atas? Membiarkan$X=Spec(A)$ kacang $S'$skema. Kemudian kesan saya adalah bahwa diagram perubahan dasar untuk pelokalan adalah$Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)$.
Kemudian dengan argumen yang mudah, kami punya
$\Pi_{S'/S}(Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)) \simeq \Pi(Spec(A_f)) \times_{\Pi(S')} \Pi(Spec(A))$.
Meskipun tampaknya hampir sama, saya tidak tahu apakah ini analog yang benar dari pernyataan di atas. Selain itu di sini sepertinya saya bahkan tidak memperkenalkan peta norma sama sekali, atau menggunakan properti universal apa pun tentang pelokalan, jadi saya tidak yakin pada diri saya sendiri.
Tolong beri tahu saya jika Anda memiliki komentar atau jika saya harus mengklarifikasi sesuatu.
Jawaban
$\newcommand{\Res}{\mathsf{Res}}$ $\newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}}$$\ newcommand {\ Hom} {\ mathrm {Hom}} $
Saya ingin memberi tahu Anda cara memikirkan hal ini yang menurut saya instruktif. Saya harap Anda merasakan hal yang sama meskipun, kemungkinan besar, itu di luar lingkup dari apa yang sebenarnya dibicarakan Springer.
Demi kesederhanaan, mari kita asumsikan bahwa $ E / F $ adalah Galois dan izinkan saya menunjukkan dengan $ \ Gamma $ grup $ \ mathrm {Gal} (E / F) $ dan kami menunjukkan elemen umum $ \ Gamma $ oleh $ \ sigma $ atau $ \ tau $ .
Mari kita mulai dengan mendefinisikan semua $ \ sigma $ di $ \ Gamma $ the $ E $ -aljabar
$$ A ^ \ sigma: = A \ otimes_ {E, \ sigma} E $$
dimana notasi ini berarti kita mengambil hasil kali tensor $ E $ -algebras dimana $ E \ ke A $ adalah peta struktur dan $ E \ ke E $ adalah peta yang diberikan oleh $ \ sigma $ . Kami menganggap ini sebagai $ E $ -aljabar dengan mendefinisikan $ e (a \ otimes b): = a \ otimes (eb) $ .
Mari kita catat bahwa kita memiliki peta $ F $ -algebras
$$ \ sigma: A \ ke A ^ \ sigma: a \ mapsto a \ otimes 1 $$
Perhatikan bahwa peta ini bukan $ E $ -linear. Faktanya,
$$ \ sigma (ea) = (ea) \ otimes 1 = a \ otimes \ sigma (e) = \ sigma (e) (a \ otimes 1) $$
jadi $ \ sigma: A \ ke A ^ \ sigma $ adalah $ \ sigma $ -linear.
Sekarang kita pertimbangkan aljabar $ E $
$$ A ^ {\ otimes \ Gamma}: = \ bigotimes _ {\ sigma \ in \ Gamma_F} A ^ \ sigma $$
di mana produk tensor di sisi kanan adalah produk tensor $ E $ -algebras. Kita akan menunjukkan tensor sederhana umum di $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ dengan $ \ displaystyle \ bigotimes a_ \ sigma $ (yaitu $ \ sigma ^ \ text {th} $ -kordinat dalam tensor sederhana adalah $ a_ \ sigma $ ). Perhatikan bahwa $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ membawa $ \ Gamma $ -action alami dengan mengubah koordinat atau, lebih eksplisit lagi,
$$ \ tau \ left (\ bigotimes a_ \ sigma \ right) = \ bigotimes b_ \ sigma, \ qquad b _ {\ tau \ sigma} = a_ \ sigma $$
Perhatikan bahwa tindakan $ \ Gamma $ bukanlah $ E $ linier, tetapi $ F $ -linier.
Sekarang mari kita pertimbangkan $ F $ -aljabar $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} $ --poin tetap $ \ Gamma $ dari $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ . Kami memiliki penyertaan yang jelas dari $ F $ -algebras
$$ \ iota: (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ hookrightarrow A ^ {\ otimes \ Gamma} $$
Yang kurang jelas adalah fakta bahwa peta induksi $ E $ -algebras
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ ke A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$
adalah isomorfisme dari $ E $ -algebras. Faktanya, ini sebenarnya adalah isomorfisme $ E $ -algebras dengan aksi $ \ Gamma $ di mana $ \ Gamma $ bertindak atas sumber dengan aksinya pada $ E $ !
Mengapa $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ atau $ (A ^ {\ otimes {\ Gamma}}) ^ {\ Gamma} $ -penting? Nah, perhatikan bahwa untuk $ F $ -aljabar $ R $ peta yang jelas
$$ \ Hom_F \ kiri ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ kanan) \ ke \ Hom_E \ kiri ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ kanan) ^ {\ Gamma} $$
adalah bijection di mana Gamma $ $ \ tindakan pada
$$ \ Hom_E \ kiri ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ kanan) $$
mengambil homomorfisme $ \ alpha $ menjadi $ \ sigma \ circ \ alpha \ circ \ sigma ^ {- 1} $ di mana $ \ sigma ^ {- 1} $ bekerja pada $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E $ dengan aksinya di $ E $ dan aksi $ \ sigma $ ada di $ R \ otimes_F E $ juga bertindak oleh $ E $ .
Tapi, kami telah mencatat bahwa kami memiliki isomorfisme
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ ke A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$
dari $ E $ -algebras dengan $ \ Gamma $ -action. Jadi, kami melihat itu
$$ \ Hom_E \ kiri ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ kanan) ^ {\ Gamma} = \ Hom_E \ kiri (A ^ {\ otimes \ Gamma} , R \ otimes_F E \ kanan) ^ {\ Gamma} $$
tapi apa yang dimaksud dengan peta $ \ Gamma $ -equivariant dari $ E $ -algebras $ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ hingga R \ otimes_F E $ ? Nah, menurut definisi produk tensor di atas $ E $ , ini adalah kumpulan peta $ E $ -algebras
$$ f_ \ sigma: A ^ \ sigma \ hingga R \ otimes_F E $$
di mana kami menyingkat $ f _ {\ mathrm {id}} $ menjadi $ f $ sedemikian rupa sehingga untuk setiap koleksi $ a_ \ sigma \ dalam A ^ \ sigma $ yang Anda miliki
$$ f_ \ sigma (a_ \ sigma) = \ sigma (f (a)) $$
Dengan kata lain, Anda melihat bahwa data tersebut sepenuhnya ditentukan oleh $ f $ .
Dengan kata lain, merangkum semuanya, ada rangkaian alami bias
$$\begin{align}\Hom_F\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma,R\right) &= \Hom_E\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma\otimes_F E,R\otimes_F E\right)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A^{\otimes\Gamma},R\otimes_F E)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A,R\otimes_F E)\end{align}$$
atau, dengan kata lain, kami telah menunjukkannya
$$ \ Res_ {E / F} \ Spec (A) = \ Spec \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ kanan) $$
Lebih eksplisit lagi kita memiliki kebijaksanaan
$$ J: \ Hom_F \ kiri ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ kanan) \ xrightarrow {\ approx} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$
diberikan dengan mengambil $ f $ menjadi $ (f \ otimes 1) \ mid_A $ .
Sekarang, apa hubungannya ini dengan peta norma? Perhatikan bahwa kita memiliki peta perkalian
$$ N: A \ hingga A ^ {\ otimes \ Gamma}: a \ mapsto \ bigotimes \ sigma (a) $$
yang kami sebut peta norma . Perhatikan bahwa peta ini bukan aditif tetapi memiliki gambar di $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ .
Jadi, jika $ a \ di A $ lalu $ N (a) \ in (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ . Mengingat pembahasan kami di atas, sekarang mudah untuk memverifikasi itu
$$ \ Res_ {E / F} (D (a)) = D (N (a)) $$
Memang, apa itu peta skema $ F $
$$ \ Spec (R) \ hingga D (N (a)) $$
tapi peta $ F $ -algebras
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ hingga R $$
sedemikian rupa sehingga $ N (a) $ dipetakan ke sebuah unit. Apa itu peta $ E $ -schemes
$$ \ Spec (R \ otimes_F E) \ hingga \ Spec (A) $$
tapi peta $ E $ -algebras
$$ A \ hingga R \ otimes_F E $$
Perhatikan kemudian bahwa di bawah kebijaksanaan kami di atas
$$ \ Hom_F \ kiri ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ kanan) \ xrightarrow {\ approx} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$
orang melihat itu
$$ f (N (a)) = J (f) (a) $$
jadi $ f (N (a)) $ adalah unit iff $ J (f) (a) $ adalah. Inilah yang kami inginkan.
Izinkan saya mengatakan satu kata terakhir tentang apa hubungan antara peta norma
$$ N: A \ hingga (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$
dan versi yang lebih familiar dari peta norma. Yaitu, mari kita anggap bahwa ada beberapa $ F $ -aljabar $ B $ sehingga $ A = B \ otimes_F E $ . Kemudian, kami mencatat bahwa kami memiliki isomorfisme $ E $ -algebras
$$ A ^ \ sigma = B \ otimes_F E \ otimes_ {E, \ sigma} E \ ke A = B \ otimes_F E: (b \ otimes e_1) \ otimes e_2 \ mapsto b \ sigma (e_1) e_2 $$
Dengan ini, seseorang dapat menunjukkan bahwa ada isomorfisme $ E $ -algebras
$$ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong B \ otimes_E E ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong A \ otimes_E (E ^ {| \ Gamma |}) \ cong B ^ {| \ Gamma |} $$
Selain itu, tidak sulit untuk memeriksa peta alam itu
$$ B \ hingga (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$
adalah isomorfisme. Jadi, kita melihat bahwa peta norma adalah peta
$$ N: B \ otimes_F E = A \ hingga (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma = B $$
Sekarang, misalkan $ x \ dalam B \ otimes_F E $ bertindak di sebelah kiri $ B \ otimes_F E $ dengan perkalian kiri menunjukkan ini dengan $ \ ell_x $ . Karena $ B \ otimes_F E $ adalah $ B $ -module gratis dari peringkat terbatas, seseorang dapat mempertimbangkan $ \ det (\ ell_x) \ dalam B $ . Kemudian, seseorang memiliki, di bawah identifikasi di atas, bahwa $ N (x) = \ det (\ ell_x) $ .